Zeigen Sie die Abschätzung

Question

Aufgabe:

Sei f: [0,1] -> ℝ, f(x) = $\sqrt{x}$ und n ∈ℕ, x_j = jh mit h = $\frac{1}{n}$ , j = 0, ..., n. Sei s ∈ S₁({x₀...x_n}) der lineare Interpolationsspline zu f.

Zeigen Sie die Abschätzung

||f-s||_∞ = max_x∈[0,1]  |f(x) -s(x)| ≥ $\frac{1}{4}$ $\sqrt{h}$

Problem/Ansatz:

Im Skript finde ich dazu:
|f(x)-s(x)| ≤ $\frac{1}{8}$ M₂ h²_max

mit M2 = max_x0≤ξ≤x1 |f''(ξ)| und h_max = max_1≤i≤n h_i.

Ich weiß nicht genau, was ich damit anfangen soll. Habe die zweite Ableitung gebildet, aber danach weiß ich nicht weiter.

Answer 1

Ist das Zeichen in der Abschätzung falsch ?

Denn ich denke es muss |f(x) -s(x)| ≤ $\frac{1}{4}$ $\sqrt{h}$ heißen.

Das ist ja auch eher sinnvoll sich zu überlegen wie groß

der Fehler höchstens ist.

Da die Steigung der √-Funktion für wachsende x-Werte abnimmt

( Ableitung ist streng monoton fallend.) und s(x) stückweise

linear ist, ist die Differenz |f(x) -s(x)| im ersten Teilintervall

am größten.

Die Intervallgrenzen sind 0 und h also die entsprechenden

Punkte des Graphen von f sind (0;0) und ( h ; √h) .

Also hat s die Steigung $m=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$

Und die Gleichung der Splinefunktion im ersten Intervall ist

$y=\frac{1}{\sqrt{h}} \cdot x$ Dann ist also  d(x) = |f(x) -s(x)| =$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{h}} \cdot x$.

Das ist nie negativ (Betrag kann also weg.) und hat sein

Maximum dort, wo die Ableitung von d  gleich  0 ist,

also betrachten wir diese: d ' (x) =  $\frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{\sqrt{h}}$ und setzen

sie gleich 0, das gibt $x=\frac{h}{4}$. Und es ist d ' '  an dieser Stelle

negativ, also dort wirklich ein lok. Maximum. Sein Wert ist

$d(\frac{h}{4} ) = \sqrt{\frac{h}{4} }-\frac{1}{\sqrt{h}} \cdot \frac{h}{4} = \frac{1}{4} \cdot {\sqrt{h}}$.

Und weil dies das Maximum ist, sind die anderen Werte kleiner

oder gleich diesem Wert , also ist die zu beweisende Ungleichung

$|f(x) -s(x)| ≤ \frac{1}{4} \cdot {\sqrt{h}}$.

Comments

In der Aufgabe steht zumindest, dass man zeigen soll, dass der Fehler tatsächlich angenommen wird.

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Ja, was denn nun? Steht in der Aufgabe $\le$ oder $\ge$? Und "Fehler angenommen"? Schreib die Aufgabe Zeichen-für-Zeichen ab (nicht das, was Du für die Aufgabe hälst, sondern die Originalaufgabe!) oder lade eine Foto hoch.

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Ich hab es schon richtig abgeschrieben.