Schranken beim Interpolationsfehler

Question

Aufgabe:

Es seien die Stüzpunkte (x₀, y₀) = (0,0),(x₁, y₁) = (1,1) und (x₂, y₂) = (2,0) gegeben.

a)  Berechne das zugehörige Lagrange-Interpolationspolynom.

b)  Die Funktion f(x) = sin ( \( \frac{π}{2} \) * x) wird durch das von in a) berechnete eindeutig bestimmte Interpolationspolynom vom Grad kleiner gleich 2 zwischen den Stützstellen x₀= 0, x₁= 1 und x₂= 2 interpoliert (überzeuge dich dazu davon, dass f(x_i) =y_i) ist füri= 0,1,2).

i)  Berechne mit einem Satz aus der Vorlesung (Interpolationsfehler) eine Schranke an den Interpolationsfehler im Intervall [0,2].

ii)  Berechne mit einem Satz aus der Vorlesung (Interpolationsfehler) eine Schranke an den Interpolationsfehler im Intervall [2,5]

Problem/Ansatz:

Das Lagrange-Interpolationspolynom ist

Lx₀ (x) = \( \frac{x-x₁}{x₀-x₁} \) * \( \frac{x-x₂}{x₀-x₂} \) = \( \frac{x-1}{0-1} \) * \( \frac{x-2}{0-2} \)

 = \( \frac{1}{2} \) x² - \( \frac{3}{2} \)  + 1

Analog dazu

Lx1 (x) = -x² + 2x

und

Lx₂ (x) = = \( \frac{1}{2} \) x² - \( \frac{1}{2} \) x

Dann berechnet sich das Lagrange-Interpolationspolynom durch

L f = y0 * Lx0 + y1 * Lx1 + y2 * Lx2

= 0 * Lx0 + 1* -x² + 2x + 0 * Lx²

= -x² + 2x

So! Damit wär' schon mal die a) abgefrühstückt. Was ich nicht verstehe ist, die b), also dieser Interpolationsfehler.

In unserem Manuskript ist folgende Definition angegeben:

Sei feine beliebige reelle Funktion, welche an n+ 1Stützpunkten(x₀, y_i), . . . ,(x_n, y_n) mit x_i ≠ x_j für alle i, j mit1 ≤ i < j≤ n eindeutig durch das Polynom P(x)vom Grad höchstens n interpoliertwird. Dann nennt man für x ∈ R

∆ⁿ_poly (x) = |f(x)−P(x)| den Interpolationsfehler vom Grad n der Funktion f an der Stelle x.

Genauigkeit der Polynominterpolation: Sei f:R→R eine (n+ 1)-mal differenzierbare Funktion und P(x)∈ R[x]_n das Interpolationspolynom mit P(x_i) =f(x_i) =y_i für alle i= 0,1, . . . , n zu den n+ 1Stützpunkten(x₀, y_i), . . . ,(x_n, y_n) mit x_i ≠ x_j für alle i, j mit 1≤i < j≤n.Es gibt zu jedem  ̄x eine Zahl   ̃x  aus dem kleinsten IntervallI [x₀,...,x_n, ̄x], das alle Stützstellen x_i und ̄x enthält, so dass

∆ⁿ_poly( ̄x) = | \( \frac{ f⁽ⁿ⁺¹⁾( ̃x)}{(n+1)!} \)* ∏ⁿ_i=0( ̄x−x_i) |

Fehlerabschätzung: Der obige Satz gibt leider kein Verfahren an um den Wert  ̃x auch tatsächlich zu berechnen (dazu müsste man eine Nullstelle der(n+ 1)-ten Ableitung der Hilfsfunktion F finden). Man benötigt allerdings den exakten Wert ̃x um den Fehler ∆ⁿ_poly( ̄x) mittels rechter Seite aus der Definition bestimmen zu können. Man erhält zumindesteine Abschätzung an den Fehler (obere Schranke) indem man diese rechte Seite für alle möglichen Werte im Intervall I _{[a_0,...,a_n, ̄x]} berechnet und das Maximum bildet:

∆ⁿ_poly( ̄x) = | \( \frac{ f⁽ⁿ⁺¹⁾( ̃x)}{(n+1)!} \)* ∏ⁿ_i=0( ̄x−x_i) | ≤ max _{x∈I[x_0,...,x_n, ̄x]} | | \( \frac{ f⁽ⁿ⁺¹⁾( ̃x)}{(n+1)!} \)* ∏ⁿ_i=0( ̄x−x_i) | 

Ich verstehe nicht, was hier gemeint ist. Klar, man soll mit ∆ wihk den Betrag von f(x), also sin ( \( \frac{π}{2} \) * x) minus die Interpolationsfunktion Aber wie mach ich das mit den Intervallen [0,2] und [2,5]. Soll man jetzt jedes mal für alle Zahlen die Beträge von f(x) und P (x) substrahieren? 

Answer 1

Hallo

 Fehler kann man eigentlich nie "berechnen" sondern nur abschätzen, dazu muss man eben den maximalen Wert von f(n+1)(x) in dem betrachteten Intervall nehmen, und weiß dann dass der Fehler<0 dem geschätzten Fehler ist.

(Wenn man den Fehler exakt berechnen könnte, könnte man ja z.B, die sin funktion durch ein Polynom bestimmen und den Fehler addieren oder subtrahieren.)

Gruß lul