Finde alle lokale Maxima und Minima von Funktion mit Wurzel,Bruch,Logarithmus

Question

Aufgabe:
Finde alle lokale Maxima und Minima

$\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}$ * ln(1+x^2)

Problem/Ansatz:

Ich versuche jetzt schon länger diese Aufgabe zu Lösen und habe glaube auch richtige Zwischenergebnisse, allerdings komme ich jetzt nicht mehr weiter.

Die Ableitung von dem Teil mit dem Bruch sollte: -$\frac{x}{(1+x^2)^\frac{3}{2}}$ sein

Und die Ableitung von ln sollte: $\frac{2x}{1+x^2}$ sein.

Muss ich jetzt die beiden Teile wieder zusammenfügen und die Funktion gleich Null setzen und nach x auflösen? Wie könnte ich von hier weiter geschickt vorgehen oder gibt es gar bis hierher Probleme?

Also:

0 =  -$\frac{x}{(1+x^2)^\frac{3}{2}}$ * $\frac{2x}{1+x^2}$

Comments

https://www.ableitungsrechner.net/

Leite mit der Produktregel ab.

u = (1/(1+x²)^0,5 , u' =

v= ln(1+x²), v'=

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Ich bin jetzt soweit gekommen, dass mein Ergebnis sich nur noch ein bisschen von der Lösung auf https://www.ableitungsrechner.net/ unterscheidet. Aber irgendwo hängt es noch.

ALSO:

1. $\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}$ * ln($x^{2}$ +1) | Wurzel reinziehen

2.  $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ * ln($x^{2}$ +1) | Bruch auflösen

3. 1 * $(x^2+1)^{-1}$ * $(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$ +ln(x²+1) * -$\frac{1}{2}$ * $(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}$ *2x | Potenzregel

4. $(x^2+1)^{\frac{-3}{2}}$ +ln(x² +1) * (-x)*(1+x²)^{$\frac{-3}{2}$}  | Bruch schreiben

5. $\frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$ + $\frac{ln(x2 +1) * -x }{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$ | Brüche addieren und Potenz als Wurzel schreiben

6. $\frac{1 + ln(x2+1) * -x}{(x^2+1)^{3}}$

Answer 1

Aloha :)

Schreibe den Funktionsterm als Bruch$$f(x)=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\cdot\ln(1+x^2)=\frac{\overbrace{\ln(1+x^2)}^{=u}}{\underbrace{\sqrt{1+x^2}}_{=v}}$$und wende dann zum Ableiten die Quotientenregel an$$f'(x)=\frac{\overbrace{\frac{1}{1+x^2}\cdot2x}^{=u'}\cdot\overbrace{\sqrt{1+x^2}}^{=v}-\overbrace{\ln(1+x^2)}^{=u}\cdot\overbrace{\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x}^{=v'}}{\underbrace{1+x^2}_{=v^2}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ln(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{2x-x\ln(1+x^2)}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}=\frac{x\cdot(2-\ln(1+x^2))}{(1+x^2)^{3/2}}$$

Der Bruch wird an den Stellen Null, wo der Zähler Null wird. Das ist der Fall, wenn $x=0$ ist, oder wenn die Klammer mit der Logarithmusfunktion Null wird:$$2-\ln(1+x^2)=0\implies\ln(1+x^2)=2\implies 1+x^2=e^2\implies x^2=e^2-1$$Wir finden also 3 Kandidaten für Extremwerte:$$x_1=0\quad;\quad x_2=\sqrt{e^2-1}\quad;\quad x_3=-\sqrt{e^2-1}$$

Du könntest jetzt noch die zweite Ableitung bilden, die Extremwert-Kandidaten einsetzen und das Vorzeichen der zweiten Ableitung prüfen. Das ist aber hier sehr fummelig. Daher schreibe ich nur einen kurzen Gedankengang zur Begründung der Extrema.

Die Funktion $f(x)$ ist überall postitiv, außer bei $x=0$, denn es ist $f(0)=0$. Daher liegt bei $x_1=0$ ein globales Minimum vor.

Die Grenzwerte von $f(x)$ für $x\to\pm\infty$ sind ebenfalls $0$, sodass die Funktion nach außen abfällt. Daher müssen bei $x_2=\sqrt{e^2-1}$ und bei $x_3=-\sqrt{e^2-1}$ globale Maxima vorliegen.

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f₁(x) = √(1/(1+x²))·ln(1+x²)Zoom: x(-5…5) y(0…1)