Wie und mit welchem Weg die Nullstelle berechnen.

Question

ich habe zurzeit das Thema Kurvendiskussion und mir fällt es schwer zu wissen wie ich die Nullstelle berechnen soll, da es vier Wege gibt und im Buch sowie auf mancher Seiten im Internet es sehr kompliziert erklärt wird.  
1.Polynomdivision

2.p-q Formel

3.Ausklammerungsverfahren

4.Subsumtionsverharen
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand viellecht erklärt wie man überhaupt diese Wege berechnet und wann ich die verwenden soll.
Liebe Grüße <3

Answer 1

Was ist bitteschön das Subsumtionsverfahren? Meinst du vielleicht das Substitutionsverfahren?

Die pq-Formel benutzt du bei quadratischen Funktionen.

Polynomdivision machst du bei Polynomfunktionen, wenn du schon eine Nullstelle (z.B. durch Raten) herausgefunden hast.

Wenn in allen Summanden einer Funktion x drinsteckt, kannst du dieses x ausklammern. Dann hast du ein Produkt und dieses Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

Answer 2

Als 5. Verfahren wähle ich noch die Berechnung über die Ableitung. Ableitungen werden zwar zur Bestimmung von Extremwerten gewählt, können aber auch zur Bestimmung von Nullstellen herangezogen werden. Ist nun die Extremstelle auch eine Nullstelle, bringt dieses Verfahren zum Finden der Nullstelle:

$f(x)= \frac{1}{8}x^3-\frac{1}{4}x^2-\frac{15}{8}x+\frac{9}{2}$

Herkömmlich:

$\frac{1}{8}x^3-\frac{1}{4}x^2-\frac{15}{8}x+\frac{9}{2}=0|\cdot 8$

$x^3-2x^2-15x+36=0$

Potentiell möglich sind nun alle Teiler von $36$:    $(±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±18,±36)$

Unter Umständen kann das nun recht lange dauern, bis man auf eine Zahl stößt, die zur Polynomdivision benutzt werden kann.

Weg über die Ableitung:

$f'(x)=\frac{3}{8}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{15}{8}$

$\frac{3}{8}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{15}{8}=0|\cdot \frac{8}{3}$

$x^2-\frac{4}{3}x-5=0$

$x^2-\frac{4}{3}x\red{+(\frac{2}{3})^2}=5\red{+(\frac{2}{3})^2}$

$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{49}{9} |±\sqrt{~~}$

$1.)$

$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$

$x_1=3$     $f(3)= \frac{27}{8}-\frac{9}{4}-\frac{45}{8}+\frac{9}{2}=0$ Somit ist bei x=3 eine doppelte Nullstelle.

Nun braucht man $x_2$ nicht mehr berechnen.

Polynomdivision $(\frac{1}{8}x^3-\frac{1}{4}x^2-\frac{15}{8}x+\frac{9}{2}):(x-3)$ergibt die 2. Nullstelle bei $x_3=-4$

Comments

Sehe ich das falsch oder geht dein 5. Verfahren von der vagen Hoffnung aus, dass es eine doppelte Nullstelle gibt?

---

Wenn es diese nicht gibt, verschiebt der Herr einfach den Graphen.

---

Sehe ich das falsch oder geht dein 5. Verfahren von der vagen Hoffnung aus, dass es eine doppelte Nullstelle gibt?

Nein ich habe bewusst eine Funktion konstruiert, wo ich meinen Weg darlegen kann.

---

"Ich mach' mir die Welt
Widdewidde wie sie mir gefällt ...." (Pippi Langstrumpf)

---

Ten Years After ...

---

"Ich mach' mir die Welt
Widdewidde wie sie mir gefällt ...."

finde ich gar nicht lustig in dem Zusammenhang: Stell dir mal vor, du erhältst als Schüler $f(x)= \frac{1}{8}x^3-\frac{1}{4}x^2-\frac{15}{8}x+\frac{9}{2}$ und sollst das ganze Programm im Zusammenhang mit Kurvendiskussion abspulen, verfängst dich aber schon bei den Nullstellen. Machst weiter mit der Ermittlung der Extremwerte und stößt so auch ganz unverhofft auf die Nullstellen von $f(x)$ ...

Somit ist das von mir aufgeführte Verfahren auch nicht als " lächerlich" einzustufen.