Produkt Eulerscher Zahlen irrational?

Question

Aufgabe:

Ist das Produkt von z.B. \( e^{2} * e^{3} = c  \) irrational?

Problem/Ansatz:

Mich interessiert, ob dieses Produkt eine irrationale Zahl ergibt und wie man das beweisen könnte.

Comments

Wenn \(c\) rational wäre, wäre \(e = \sqrt[5]{c}\) algebraisch. \(e\) ist aber nicht algebraisch.

Answer 1

Hallo

Schon die Irrationalität von e ist nicht so leicht nachzuweisen, für die Potenzen gibt es Beweise, aber die sind länglich, such besser im Netz als im forum .

lul

Answer 2

e^2*e^3 = e^5

Das ist sicher keine rationale Zahl.

Aus pi wird auch keine, wenn du es potenzierst.

https://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahlkkkk

Comments

Klar: \(\pi^0=1\). Mit Verallgemeinerungen sollte man in der Mathematik immer vorsichtig sein.

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Das ist nur eine (sinnvolle) Konvention/Definition, nicht beweisbar.

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Dann sind die Potenzgesetze für dich nur eine Konvention/Definition?

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Nein, aber x⁰

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\(1=\frac{x^n}{x^n}=x^{n-n}=x^0\).

Gilt das nicht für alle reellen \(x\) ohne \(0\) und \(n>0\)?

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Das ist kein Beweis sondern die Motivation warum man x⁰=1 so definiert (für x≠0).