Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ gilt:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:
$\sum \limits_{k=1}^{2 n} i^{k} k=\left\{\begin{array}{ll} n(1-i) & n \text { gerade } \\ -(n+1)+n i & n \text { ungerade } \end{array} .\right.$

Was wäre hier die Lösung?

Comments

Woran scheiterst du? Hast du dich auch nur ansatzweise mal mit der Aufgabe und vollständiger Induktion beschäftigt?

Answer 1

Das sind ja quasi 2 Behauptungen, unterschieden nach

geradem und ungeradem n.

Falls bei euch 0∉ℕ müsste man für die geraden also mit n=2 beginnen und hat

$\sum \limits_{k=1}^{2 \cdot 2} i^{k} k= i \cdot 1 + (-1) \cdot 2 +(-i) \cdot 3 +1 \cdot 4$

$= 2 - 2i = 2 \cdot (1 - i) = n \cdot (1 - i)$  wegen n=2.

Und für n=1 ist es

$\sum \limits_{k=1}^{2 \cdot 1} i^{k} k= i \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = -2 + i = -(1+1) + 1 \cdot i$

$= -( n+1) + n \cdot i$  wegen n=1.

Das passt also .

Für den Induktionsschritt unterscheide wieder die Fälle n gerade und n ungerade:

1. n gerade. Dann gilt $\sum \limits_{k=1}^{2 n} i^{k} k= n(1-i)$

Also für n+1: $\sum \limits_{k=1}^{2 (n+1)} i^{k} k= \sum \limits_{k=1}^{2n+2} i^{k} k$

$= \sum \limits_{k=1}^{2 n} i^{k} k + i^{2n+1}\cdot (2n+1) + i^{2n+2}\cdot (2n+2)$

Jetzt Ind.annahme einsetzen und umformen

$= n(1-i) + i^{2n+1}\cdot (2n+1) + i^{2n+2}\cdot (2n+2)$

$= n(1-i) + i^{2n}\cdot i \cdot (2n+1) + i^{2n}\cdot i^2 \cdot (2n+2)$

$= n(1-i) + i^{2n}\cdot (2ni+i) + i^{2n}\cdot (-2n-2)$

$= n-ni + i^{2n}\cdot (2ni+i-2n-2)$

Da n gerade ist, ist 2n durch 4 teilbar, also $i^{2n} = 1$

$= n-ni + 2ni+i-2n-2 = -n-2 +ni+i = -(n+2) + (n+1)i$

Und weil n+1 ja ungerade ist, ist dies auch das Ergebnis, was für n+1

entstehen muss.

Ähnlich auch für ungerades n die Gültigkeit für n+1 zeigen !