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Aufgabe:

Gegeben sei das Polynom \( p(X)=X^{5}-2 X^{4}-21 X^{3}+67 X^{2}-24 X-45 \). Schreiben Sie \( p \) als Produkt von Linearfaktoren.


Ich denke hier natürlich als erstes an Polynomdivision.

Allerdings habe ich Schwierigkeiten, eine erste Nullstelle zu erraten.


War das nicht so, dass ich  nach den möglichen Teilern von -25 suchen muss?

--> ±25, ±1, ±5 , zu Spaß habe ich auch mal±2 probiert.

Keines ergab eingesetzt Null...

Entweder verrechne ich mich die ganze Zeit richtig krass oder Ich mache was falsch.


Edit: Danke für den Hinweis. ich habe es tatsächlich falsch abgeschrieben und dann die ganze Zeit mich an dem falschen orientiert. Ich probiere nochmal und melde mich dann bei Bedarf nochmal!

Avatar von

wieso -25? Das Absolutglied des Polynoms ist doch -45 ?

3 Antworten

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Beste Antwort

Probiere Teiler von 45. Das sind im einzelnen 1, 3, 5, 9, 15, 45. Und zwar sowohl positiv als auch negativ.

Du stellst fest, dass x = -5 und x = 3 Nullstellen sind.

Häufig deckt eine Wertetabelle mit dem TR im Bereich von -10 bis 10 schon sehr viele Nullstellen ab. Daher beginne ich meist mit einer kleinen Wertetabelle.

(x^5 - 2·x^4 - 21·x^3 + 67·x^2 - 24·x - 45) / (x + 5) = x^4 - 7·x^3 + 14·x^2 - 3·x - 9

(x^4 - 7·x^3 + 14·x^2 - 3·x - 9) / (x - 3) = x^3 - 4·x^2 + 2·x + 3

Probiere jetzt nochmals, ob 3 eine Nullstelle ist. Da 3 eine weitere Nullstelle ist hat man eine Doppelte Nullstelle bei x = 3 und wir machen noch eine Polynomdivision

(x^3 - 4·x^2 + 2·x + 3) / (x - 3) = x^2 - x - 1

Vom jetztigen Restpolynom bestimmen wir die Nullstellen über die pq-Formel

x^2 - x - 1 = 0 --> x = 1/2 ± √5/2

Damit können wir jetzt p(x) in Linearfaktorzerlegung schreiben

p(x) = (x + 5)·(x - 3)^2·(x + √5/2 - 1/2)·(x - √5/2 - 1/2)

Ist das so klar?

Avatar von 484 k 🚀

danke!! das ist so sehr gut nachzuvollziehen

+1 Daumen

Hallo du suchst nach Teilern von 25 ich von 45 was ist richtig. mit 45 werde ich bei 3 und -5 fündig (3 ist doppelte Nst)

einfacher ist es in HA die Funktion zu plotten

Gruss lul

Avatar von 107 k 🚀

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