Finden Sie eine Matrix A,sodass (Z1, Z2) = A(X, Y )

Question

Aufgabe:

4.3: In der Aufgabe 3.3, sei (Z1, Z2) = (X + Y, Y )
Finden Sie eine Matrix A,sodass (Z1, Z2) =  A(X, Y )
und verwenden Sie diese Matrix, um den Erwartungswert und die Varianz-Kovarianz-Matrix von (Z1, Z2)
zu bestimmen.

3.3 : Angenommen (X, Y ) hat die Dichte
f(x, y) = 3x falls 0 ≤ y ≤ x ≤ 1; 0 sonst.

Problem/Ansatz:

Habe leider noch keinen Ansatz für 4.3 habe jedoch aus 3.3 E(X,Y) = (3/4; 3/8) , Var(X) = 3/80; Var(Y)= 19/320 und

Cov(X,Y) = 3/160, sowie die Randdichten fx(x) = 3x^2 und fy(y) = 3/2*(1-y^2) berechnet.

Answer 1

Die Werte aus 3.3 sind richtig.

Man kann relativ leicht sehen, dass \(A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\).

Mit \(Z=(Z_1,Z_2)=A(X,Y)\) muss man dann nur noch die Transformationsformeln anwenden:

\(E[Z]=AE[(X,Y)]^T\) und \(\Sigma_Z=A\Sigma_{(X,Y)}A^T\).