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Aufgabe

\(\displaystyle \int \limits_{2}^{3} \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}+\frac{1}{x \ln (x)} \mathrm{d} x \)


Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht ganz wie ich den ersten Teil des Integrals bestimmen kann. Könnte mir hier jemand weiterhelfen?

LG

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Um die Summe herum gehören Klammern, oder sehe ich das falsch oder allzu altmodisch?

Man findet das Integral des ersten Summanden in Gradshteyn-Ryzhik unter 2.148.

Gradshteyn-Ryzhik

Habe ich noch nie gehört.

Ich kennen nur das legendäre Duo

Bronstein-Semendjajew.

Über 1000 Seiten, deutlich über 1 kg, hatte ich mal der zweitbesten Tochter der Welt ins Regal gestellt als sie in ein bestimmtes Alter kam, um ungeeigneten Herrenbesuch zu verscheuchen. Stellte sich heraus, das konnte sie ganz alleine. Das genannte Integral steht dort als:

blob.png

Stellte sich heraus, das konnte sie ganz alleine.

Cool.

Finde ich auch cool. Trotzdem hilfreiche Geschichte, gerade für die Foristen hier, die immer fragen, wozu braucht man das? Gibt es Anwendungen?

Mathematik ist schon vielseitig anwendbar.

1 Antwort

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Aloha :)

Das Integral zerfällt in 2 Integrale:$$I=\underbrace{\int\limits_2^3\frac{1}{(x^2+1)^3}\,dx}_{=I_1}+\underbrace{\int\limits_2^3\frac{\frac1x}{\ln(x)}\,dx}_{=I_2}$$

Das 2. Integral ist ein Standardintegral, denn die Ableitung des Nenners steht im Zähler:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|(f(x)|+\text{const}\quad\implies$$$$I_2=\left[\ln|\ln(x)|\right]_2^3=\ln(\ln3)-\ln(\ln2)=\ln\left(\frac{\ln3}{\ln2}\right)$$

Im 1, Integral substituieren wir:$$x=\tan u\implies \frac{dx}{du}=1+\tan^2u=1+x^2\implies du=\frac{dx}{1+x^2}$$und erhalten dann folgendes Integral:$$I_1=\int\limits_2^3\frac{1}{(x^2+1)^2}\cdot\frac{dx}{x^2+1}=\int\limits_{\arctan(2)}^{\arctan(3)}\frac{1}{(\tan^2u+1)^2}\,du=\int\limits_{\arctan(2)}^{\arctan(3)}\cos^4(u)\,du$$

Den Term \(\cos^4(u)\) formen wir vor dem Integrieren etwas um:$$\cos^4(u)=\left(\frac12+\frac12\cos(2u)\right)^2=\frac14+\frac12\cos(2u)+\frac14\cos^2(2u)$$$$\phantom{\cos^4(u)}=\frac14+\frac12\cos(2u)+\frac14\left(\frac12+\frac12\cos(4u)\right)$$$$\phantom{\cos^4(u)}=\frac38+\frac12\cos(2u)+\frac18\cos(4u)$$sodass wir das Integral sofort hinschreiben können:$$I_1=\left[\frac38u+\frac14\sin(2u)+\frac{1}{32}\sin(4u)\right]_{\arctan(2)}^{\arctan(3)}$$$$\small\phantom{I_1}=\left(\frac38\arctan(3)+\frac14\cdot\frac35+\frac{1}{32}\cdot\left(-\frac{24}{25}\right)\right)-\left(\frac38\arctan(2)+\frac14\cdot\frac45+\frac{1}{32}\cdot\left(-\frac{24}{25}\right)\right)$$$$\phantom{I_1}=\frac38\left(\arctan(3)-\arctan(2)\right)-\frac{1}{20}$$

Damit lautet das Gesamtergebnis:$$I=\frac38\left(\arctan(3)-\arctan(2)\right)-\frac{1}{20}+\ln\left(\frac{\ln3}{\ln2}\right)\approx0,463772$$

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