Kombinatorik Gleichung sehr schwer

Question

Aufgabe:

Schema für Berechnung solcher Aufgaben:

(a) Wie groß ist der Koeffizient vor x¹⁵ y¹⁵ in dem Polynom (x+2y)³⁰

(b) Wie groß ist der Koeffizient vor x³ y⁵ z⁶ in (2x +y-z² )¹¹

Ansatz:

Der Ansatz wird über den Multinominalkoeffizienten verlaufen:

(a) 20!/(15!*15!)

(b) 11! / (3! * 5! * 6!)

?? Könnte jemand bitte eine gutes Schema zeigen wie man solche typen von Aufgaben immer richtig löst?

Comments

vgl:

https://www.f08.uni-stuttgart.de/schulen/schuelerzirkel-mathematik/downloads/Pascalsches-Dreieck.pdf

Answer 1

Stets einfache Beispiele ausprobieren, wenn man es verstehen will.

a)  Beispiel: wie groß ist der Koeffizient von \(x^2y^3\) in \((x+2y)^5\)?

wie groß ist der Koeffizient von \(x^3y^3\) in \((x+2y)^5\)?

Schreibe dazu \((x+2y)^5=(x+2y)(x+2y)(x+2y)(x+2y)(x+2y)\). Beim Ausmultiplizieren muss aus jeder Klammer einer der beiden Summanden gewählt werden. Was sagt das über die auftretenden Exponenten aus?

Ergebnis Deiner Aufgabe a): 0. Warum?

b) Erst wenn Du a) verstanden hast. Es sind 11 Klammern, Du brauchst 3 x-Terme, 5 y-Terme, 3 z-Terme. Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus 11 Klammern 3 auszuwählen?

Comments

(11 über 3)?

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Das ist die Antwort auf die letzte Frage, ja. Steht erst an, wenn Du a) gelöst hast (damit wir Du schnell das Verständnis erlangst).

Also, was sagst Du zu a)?

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nach hoch 15 ergeben k1 = 15 und k2 = 15 und

-> 30!/(15! * 15!) * 2¹⁵ 

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Nein. Du hast das Beispiel nicht gerechnet, warum nicht? Du willst es doch verstehen. Dann noch einfacher:
Bestimme den Koeffizienten von \(xy^2\) in \((x+3y)^3\) sowie den Koeffizienten von \(x^2y^2\). Rechne!

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Warum soll ich so eine umfangreiche Gleichung rechnen? Mir geht darum mit einfacher mittels Kombinatorik dies zu lösen!

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Ich hab's Dir so einfach wie möglich gemacht. Wenn Du das "umfangreiche" Beispiel nur mal angefangen hättest zu rechnen, wären wir hier lange fertig.

Rechne das zuletzt genannte einfache Beispiel. Dauert 5 Min.

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Mir geht darum mit einfacher mittels Kombinatorik dies zu lösen!

Das geht aber erst, wenn man die Kombinatorik verstanden hat. Das Vorgehen wurde dir hier bereits erläutert.

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Ergebnis Deiner Aufgabe a): 0. Warum?

Das habe ich allerdings auch nicht verstanden.

Bei (x + 2y)^30 habe ich 30 Klammern von denen ich 15 mit dem Faktor x und 15 mit dem Faktor y wählen kann.

Wir befragen mal meinen Freund Wolfram

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Zum Problem mit der 0: Die Fragestellung wurde geändert.

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Der gleiche FS hat vor zwei Monaten den gleichen Aufgabentyp gefragt:

https://www.mathelounge.de/1071367/kombinatorik-multinominalkoeffzient-losen-polynom

Hat das ganze Vorrechnen, pardon, Bereitstellen einer Kontrolllösung, doch nichts genutzt. Ob's diesmal anders ist?

Answer 2

a)

(30 über 15)·(15 über 15)·2^15 = 5082890895360

(30 über 15)·(15 über 15) = 30!/(15!·15!)

Aus den 30 Klammern kannst du 15 bestimmen, in denen du den Faktor x wählst und aus den verbleibenden 15 Klammern kannst du die 15 bestimmen, in denen du den Faktor 2y wählst. Weiterhin brauchen wir den Faktor 2 vor dem y auch noch 15-mal.

b)

(11 über 3)·(8 über 5)·(3 über 3)·2^3·(-1)^3 = - 73920

(11 über 3)·(8 über 5)·(3 über 3) = 11!/(3!·5!·3!)