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Hallo Mathefreunde!

Ich habe eine Verständnisfrage bezüglich Integralrechnung.

In meinem Vorlesungsskript steht die Umformung:

0π/2sin(π2x)dx=0π/2sin(x)dx\int_0^{\pi/2}\sin(\frac\pi2-x)dx=\int_0^{\pi/2}\sin(x)dx

Jetzt bin ich irritiert, denn es gilt dochsin(π2x)=cos(x)\sin(\frac\pi2-x)=\cos(x)

Der Wert des Integrals ist am Ende derselbe. Aber wie kommt meine Professorin darauf? Oder hat sie sich einfach nur vertan?


Viele Grüße

Biergratis

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Aloha :)

Ich vermute, deine Professorin hat sich nicht vertan.

Du studierst vermutlich Physik oder Ingenier-Wissenschaften, denn in diesen praktischen Fachgebieten ist folgende Integrations-Regel oft sehr nützlich:abf(x)dx=abf(a+bx)dx\int\limits_a^bf(x)\,dx=\int\limits_a^bf(a+b-x)\,dx

Sie wird dir sofort klar, wenn du im rechten Integral wie folgt substituierst:ua+bx    du=dx  ;  u(a)=b  ;  u(b)=au\coloneqq a+b-x\implies du=-dx\;;\;u(a)=b\;;\;u(b)=aDann geht das rechte Integral über in:abf(a+bx)dx=baf(u)(du)=abf(u)du=abf(x)dx\int\limits_a^bf(a+b-x)\,dx=\int\limits_{\pink b}^{\pink a}f(u)\,(\pink-du)=\int\limits_a^bf(u)\,du=\int\limits_a^bf(x)\,dxDie Integrationsfariable uu wurde im letzten Schritt in xx umbenannt.

Deine Professorin hat vermutlich diese schnelle Substituion im Kopf durchgeführt:0π/2sin(π2x)dx=0π/2sin(π2(0+π2x))dx=0π/2sin(x)dx\int\limits_0^{\pi/2}\sin\left(\frac\pi2-x\right)dx=\int\limits_{\red0}^{\green{\pi/2}}\sin\left(\frac\pi2-\left(\red0+\green{\frac\pi2}-x\right)\right)dx=\int\limits_0^{\pi/2}\sin(x)\,dx

Es steht also zumindest nichts Falsches in der Vorlesung.

Deine Ersetzung mit cos(x)\cos(x) wäre genauso korrekt gewesen.

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Das passt und erklärt auch einige andere Umformungen :)

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Wenn du die Funktion xsin(x)x\mapsto \sin(x) an der Geraden x=π4x=\frac{\pi}{4} spiegelst, dann bekommst du die Funktion xsin(π2x)x\mapsto \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right).

π4\frac{\pi}{4} liegt in der Mitte zwischen den Integrationsgrenzen.

Oder formal mittels Integration durch Substitution g(x)=π2xg(x)=\frac{\pi}{2}-x:

abf(g(x))g(x)dx=g(a)g(b)f(u)du    0π2sin(π2x)(1)dx=π20π2π2sin(u)du    0π2sin(π2x)dx=π20sin(u)du    0π2sin(π2x)dx=π20sin(u)du=0π2sin(u)du\begin{aligned} & & \int_{a}^{b}f\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{d}x & =\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(u\right)\mathrm{d}u\\ & \implies & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot\left(-1\right)\mathrm{d}x & =\int_{\frac{\pi}{2}-0}^{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}\sin\left(u\right)\mathrm{d}u\\ & \implies & -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\mathrm{d}x & =\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sin\left(u\right)\mathrm{d}u\\ & \implies & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\mathrm{d}x & =-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sin\left(u\right)\mathrm{d}u\\ & & & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(u\right)\mathrm{d}u \end{aligned}

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Danke dir...

Aber ob meine Professorin so eine komplizierte Rechnung im Kopf bzw. in einem Rechenschritt gemacht hat?

Das ist keine komplizierte Rechnung.

Das ist die einfachste Substitution, die man sich denken kann. Wenn Du das kompliziert findest, solltest Du die Substitutionsregel mal üben.

Deine Professorin hat es vermutlich im Kopf über die oben erwähnte Spiegelung gemacht (Stichwort: Integral = (in diesem Fall) Flächeninhalt unter der Kurve).

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Es ist anzunehmen, dass sie sich vertan hat:

Unbenannt.JPG

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