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Aufgabe

Ein Schwimmbecken kann durch drei Leitungen gefüllt werden. Die beiden ersten Leitungen benötigen zusammen 45 Minuten. Die erste und dritte Leitung brauchen zusammen eine Stunde.

Die zweite und dritte Leitung schaffen es gemeinsam in 1,5 Stunden.
Wie lange braucht jede Leitung alleine zum Füllen? Nach wie vielen Stunden ist das Becken ge-füllt, wenn alle drei Leitungen zusammen benutzt werden?

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4 Antworten

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Seien x, y und z die Wassermengen (also Anteil der Gesamtfüllmenge), die die Leitungen 1, 2 und 3 in einer Minute befördern.

Dann gilt

x+y=1/45

x+z=1/60

y+z=1/90.

Löse zunächst das Gleichungssystem.


Abkürzung: Du kannst x+y+z auch ausrechnen, ohne x, y, z einzeln zu berechnen.

Mit x+y+z hast du die Wassermenge in einer Minute, wenn alle 3 Leitungen gleichzeitig füllen.

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4 Antworten und nur eine deklariert die Variablen und erklärt so die verwendeten Gleichungen. Dafür einen Daumen.

und nur eine deklariert die Variablen und erklärt so die verwendeten Gleichungen.

Ist das nicht evident aufgrund der Zahlen?

Es ist schlechter Stil, gerade wenn es darum geht, dass andere Leute so etwas nachvollziehen sollen, die jetzt nicht so viel Verständnis aufbringen.

Ich gehe davon aus, dass solche Aufgaben im Unterricht erklärt wurden.

Oder gibt es sie auch als Transferleistungsabfrage?

Und jemand, der eine solche Aufgabe vernünftig bearbeitet, deklariert die Variablen, bevor er rechnet. Und ein guter Lehrer vermittelt das auch so.

Für mich ist das eine unbedingte Anforderung an vernünftiges Formulieren - nicht nur in der Mathematik. Punkt.

Im übrigen zeigt doch die Tatsache, dass 2 von den 4 Antworten die Variablen anders angesetzt haben, dass hier eine Erklärung angebracht ist.

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Ein Schwimmbecken kann durch drei Leitungen (x, y, z) gefüllt werden. Die beiden ersten Leitungen benötigen zusammen 45 Minuten.

x + y = 1/0.75

Die erste und dritte Leitung brauchen zusammen eine Stunde.

x + z = 1/1

Die zweite und dritte Leitung schaffen es gemeinsam in 1,5 Stunden.

y + z = 1/1.5

Wie lange braucht jede Leitung alleine zum Füllen?

Löse das Gleichungssystem. Ich erhalte.

x = 5/6 = 1/1.2 ∧ y = 1/2 ∧ z = 1/6

Erste Leitung 72 Minuten, zweite Leitung 2 Stunden, dritte Leitung 6 Stunden

Nach wie vielen Stunden ist das Becken gefüllt, wenn alle drei Leitungen zusammen benutzt werden?

x + y + z = 1/1.2 + 1/2 + 1/6 = 3/2 = 1/(2/3)

Zusammen brauchen sie 40 Minuten.

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Gegeben sind:

$$\begin{aligned} (1)\quad\dfrac{1}{l_1}+\dfrac{1}{l_2}\phantom{+\dfrac{1}{l_0}}&=\dfrac{1}{45}\\[1.2em] (2)\quad\dfrac{1}{l_1}\phantom{+\dfrac{1}{l_0}}+\dfrac{1}{l_3}&=\dfrac{1}{60}\\[1.2em] (3)\quad\phantom{+\dfrac{1}{l_3}}\dfrac{1}{l_2}+\dfrac{1}{l_3}&=\dfrac{1}{90}\\[1.2em] \end{aligned}$$Mit \((4) = ((1)+(2)+(3))/2\) ergibt sich:

$$(4)\quad\dfrac{1}{l_1}+\dfrac{1}{l_2}+\dfrac{1}{l_3}=\dfrac{1}{40}$$Alle drei Leitungen zusammen füllen das Becken in 40 Minuten.


Aus \(5)=(4)-(3)\) und \(6)=(4)-(2)\) und \(7)=(4)-(1)\) erhalten wir

$$\begin{aligned} (5)\quad\dfrac{1}{l_1}\phantom{+\dfrac{1}{l_0}+\dfrac{1}{l_0}}&=\dfrac{1}{72}\\[1.2em] (6)\quad\phantom{+\dfrac{1}{l_0}}\dfrac{1}{l_2}\phantom{+\dfrac{1}{l_0}}&=\dfrac{1}{120}\\[1.2em] (7)\quad\phantom{+\dfrac{1}{l_0}\dfrac{1}{l_0}+}\dfrac{1}{l_3}&=\dfrac{1}{360}\\[1.2em] \end{aligned}$$ und daraus die Einzelfüllzeiten als Reziproken.

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1/x + 1/y = 1/45

1/x+1/z = 1/60

1/y+1/z = 1/90

x= 72, y= 120, z= 360

1/72+1/120+1/360 = 1/a |*360t

5t+3t+t= 360

9t= 360

t= 40

Alles in Minuten.

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