Grenzwert einer Reihe bestimmen: ∑1 /(4n² - 1) und ∑ 2^n-2 / 4ⁿ⁺¹

Question

Reihenaufgabe:

Es geht um:

1.) $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1}$

2.) $\sum \limits_{n=3}^{\infty} \frac{2^{n-2}}{4^{n+1}}$

Ich denke ich muss beide Reihen entweder in geometrische oder harmonische Form bringen, oder?

----

Vom Duplikat: Teleskopsumme und Indexverschiebung

Aufgabe:

Man soll den Grenzwert von $\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k^{2}-1}$ berechnen. Er ist laut diverser Hilfsmittel -1.

Doch ich komme nicht auf die -1. So bin ich vorgegangen:

1. Binomische Formel und Partialbruchzerlegung angewandt

2.Summen auseinandergeschrieben

3.Indexverschiebung

Doch bei Punkt 3, funktioniert das ganze leider nicht mehr. Das steht bis jetzt da:

$\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k-2}-\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k+2}$

Wenn man jetzt rechts, den Index um 1 erhöht, steht der linke Ausdruck da.

$\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k-2}-\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4(k-1)+2}$

Da links jetzt alles bis auf k=0 wegfällt, dürfte das ja mein Grenzwert sein.

ABER: 1/4*0-2 = -0.5 Und das ist ja nicht richtig. Kann mir jemand sagen, was falsch ist?

Gefragt 9 Apr 2014 von Kickflip

3 Antworten

Beste Antwort

zu 1. Betrachte die

N

-ten Partialsummen

\sum_{n=1}^N\frac1{4n^2-1}=\frac12\sum_{n=1}^N\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)=\frac12\left(1-\frac1{2N+1}\right).

Bestimme nun den Grenzwert für

N\to\infty

.

Zu 2.

\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{n-2}}{4^{n+1}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n+1}}{4^{n+4}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2\cdot2^n}{4^4\cdot4^n}=\frac1{128}\cdot\sum_{n=0}^\infty\left(\frac12\right)^n=\frac1{64}.

Beantwortet 9 Apr 2014 von Gast

Ein anderes Problem?

Gast jc2144 · Answer 1 · 2019-11-25T15:25:26+0000

$1/(4n^2-1)=1/2 *[1/(2n-1)-1/(2n+1)]$

Überlege dir nun, warum es sich um eine Teleskopreihe handelt.