Berechnen Sie die Gleichung der Parabel, mit der Tangente t

Question

Aufgabe:

An die Hyperbel H: $\frac{x^2}{36}$ - $\frac{y^2}{81}$ =1   wird im Punkt B = (−10, b)⊺, b > 0 die Tangente t gelegt.
(a) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel in erster Hauptlage (y² = ax), die ihren Scheitel im Mittelpunkt der Hyperbel hat und ebenfalls t berührt.
(b) Berechnen Sie den Berührungspunkt dieser Tangente t mit der Parabel.

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich soweit b für den Punkt B ausgerechnet: b=12 => B=(-10,12)

Nun wollte ich die Tangente bestimmen mit t(x) = kx + d

Die erste Gleichung erhalten wir durch 12 = -10k + d

Die zweite wollte ich durch Einsetzen von kx + d statt y in die Hyperbelgleichung erhalten.

Hier wollte ich die Determinante schließlich 0 setzen, aber ich komme auf kein logisches Ergebnis.

Den Rest würde ich hinbekommen, ich verstehe nur nicht wie ich die Determinante in diesem Fall berechne.

Vielen Dank!

Answer 1

Ein anderer Ansatz:

H: $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{81} =1$

Tangentengleichung allgemein:

$\frac{x\cdot x_B}{a^2} - \frac{y\cdot y_B}{b^2} =1$

B$(-10|12)$

$\frac{-10x}{36} - \frac{12y}{81} =1$

$y=-\frac{15}{8}x-\frac{27}{4}$

Parabel:

$y^2=a x$

$(-\frac{15}{8}x-\frac{27}{4})^2=ax$

$\frac{225}{64} x^2+ \frac{405}{16}x+\frac{729}{16}=ax$

Nun mit den Mitteln deiner Wahl die Gleichung lösen und die Diskriminante =0.

Comments

und die Determinante

Das Ding heißt Diskriminante.

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Ein anderer Ansatz:

....

$y=-\frac{15}{8}x-\frac{27}{4}$

Ist die Tangentengleichung bekannt, so reicht es aus, deren Nullstelle $x_0$ zu berechnen. Die X-Koordinate $x_b$ des Berührpunkts mit der Parabel ist dann schlicht$$x_b = 2x_0$$und der Parameter $a$ der Parabel folgt aus dem Halbparameter $p$. Ist $m_T$ die Steigung der Tangente so ist $$p = \frac{x_b}{m_T}$$was aus der Definition der Parabel mit Leitlinie folgt und $a$$$a = \frac{1}{2p} = \frac{m_T}{4x_0}$$

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Vielen Dank für deine Antwort,

habe nur eine Frage bezüglich des Lösens der Parabelgleichung. Wenn ich durch x dividiere habe ich keine quadratische Gleichung mehr, da funktioniert dann weder pq-Formel noch die abc-Methode. Wie löse ich diese Gleichung sonst? Weil ich muss ja irgendwie die x loswerden und a als Zahl berechnen.

Danke!

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Nicht durch x dividieren!

$\frac{225}{64} x^2+ \frac{405}{16}x+\frac{729}{16}=ax |$

$\frac{225}{64} x^2+ \frac{405}{16}x+\frac{729}{16}-ax=0|-\frac{729}{16}$

$\frac{225}{64} x^2+ \frac{405}{16}x-ax=-\frac{729}{16} | \cdot \frac{64}{225}$

Dann $x$ ausklammern und weiter mit der pq - Formel oder der quadratischen Ergänzung.

u.s.w.

Answer 2

H nach y auflösen

Von den zwei Lösungen ist wegen b > 0 nur die positive interessant.

Nach x ableiten.

-10 für x in die Ableitung einsetzen

Gleich k setzen.

Das ist deine zweite Gleichung.

Answer 3

y = k·x + d
y² = (k·x + d)² = k²·x² + 2·d·k·x + d²

Das setzen wir in die Hyperbel ein

x²/36 - y²/81 = 1
9·x² - 4·y² = 324
9·x² - 4·(k²·x² + 2·d·k·x + d²) = 324
9·x² - 4·k²·x² - 8·d·k·x - 4·d² - 324 = 0
(9 - 4·k²)·x² + (- 8·d·k)·x + (- 4·d² - 324) = 0

Diskriminante

(- 8·d·k)² - 4·(9 - 4·k²)·(- 4·d² - 324) = 0
144·d² - 5184·k² + 11664 = 0

Zusammen mit der Gleichung - 10·k + d = 12 hast du ein Gleichungssystem welches du lösen kannst. Ich erhalte d = -6.75 ∧ k = -1.875 und damit die Tangente

y = -1.875·x - 6.75

Skizze

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f₁(x) = 3√(x²-36)/2f₂(x) = -3√(x²-36)/2f₃(x) = -1,875x-6,75P(-10|12)Zoom: x(-15…15) y(-20…20)