Jetzt muss ich nur noch nachvollziehen, wieso deine Konstruktion richtig ist.
sollte recht einfach sein, wenn man das ganze in ein Koordinatensystem einbringt - z.B. mit \(A=(-0,5|\,0)\) und \(B=(0,5|\, 0)\) - und dann den Schnittpunkt der roten Geraden berechnet.
Mir ist aber noch ein einfacher Beweis eingefallen, der sich auf der Konstruktion von Kurt Hofstetter abstützt. Hofstetter hat einen Beweis im Forum Geometricorum veröffentlich, der sich auf einen älteren Beweis von 2004 beruft.
In der unten stehenden Skizze kann man also voraussetzen, dass \(H\) die Strecke \(AB\) im Verhältnis \(\Phi \div 1\) teilt. Bzw. $$\quad\frac{|AB|}{|AH|} = \Phi$$
Man betrachte nun das Dreieck \(\triangle ADQ\). Offensichtlich ist hier \(DQ\) parallel zur Geraden durch \(AB\) und \(|DQ|=|AB|\) (Die Punkte D, Q, B und P sind 4 von 6 Ecken eines regelmäßigen Sechsecks). Die beiden Dreiecke \(\triangle AHS\) und \(\triangle DQS\) sind ähnlich. Folglich ist$$\quad\frac{|DS|}{|AS|} = \frac{|DQ|}{|AH|} = \Phi$$und weiter gilt$$\quad |DS| = \left(|DA| = |AB|\right) + |AS| \\ \begin{aligned}\quad\implies \frac{|AB|+|AS|}{|AS|} &= \Phi \\ \frac{|AB|}{|AS|} &= \Phi - 1 = \frac{1}{\Phi} \\ &\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Gruß Werner
