Wie konstruiert man die Figur mit Zirkel und Lineal (ohne Berechnung der Winkel)?

Question

Aufgabe:

Neulich sah ich dieses Fünfeck bei einer Aufgabe, in der nach den Winkeln gefragt wurde. Das ist eine leichte Aufgabe. Schwieriger finde ich, die Figur ohne Kenntnis der Winkel zu konstruieren.

Vorausgesetzt wird, dass die Strecken alle gleich lang sind und dass die Punkte auf den grün dargestellten Geraden liegen.

Wie konstruiert man die Figur mit Zirkel und Lineal (ohne Berechnung der Winkel)?

Answer 1

Hallo Monty,

so eine Frage verdient doch ein vernünftige Antwort - oder? Ich will's mal versuchen:

Stecke auf einer Geraden die Strecke $AB$ (grün) der gewünschten Länge 9 ab. $k_a$ sei der Kreis um $A$ mit Radius $|AB|$ und $k_b$ der Kreis um $B$ mit Radius $|AB|$ (beide blau). Die Kreise schneiden sich in $P$ (links) und $Q$ (rechts von $AB$). Die Gerade durch $PQ$ (schwarz) ist die Mittelsenkrechte von $AB$ und schneidet $AB$ in $M$. Der Kreis $k_3$ (gelb) um $M$ mit Radius $|AB|$ schneidet $k_a$ links von $AB$ in $R$.

Die Geraden durch $BP$ und $QR$ (beide rot) schneiden sich in $S$. Der Kreis $k_4$ (grün) um $B$ mit Radius $|BS|$ schneidet die Gerade durch $AB$ auf der Seite von $A$ in $D$ und $k_a$ rechts von $AB$ in $C$. Die Gerade durch $BC$ schneidet $k_b$ zwischen $B$ und $C$ in $A'$.

Jetzt noch die Punkte $ACDA'B$ zum Ergebnispolygon verbinden.

Gruß Werner & allen ein gutes neues Jahr!

Comments

Bem.: die Konstruktion der Strecke $|BS| = \Phi \cdot |AB|$ stammt von mir. Ich bin da eher zufällig drüber gestolpert. Ob sie schon bekannt ist, weiß ich nicht; jedenfalls habe ich sie in den Weiten des Internets nicht gefunden.

Falls sie jemand irgendwo findet, dann bitte einen Link hier einstellen.

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Ob sie schon bekannt ist, weiß ich nicht; jedenfalls habe ich sie in den Weiten des Internets nicht gefunden.

Das wundert mich nicht wirklich, weil es für den goldenen Schnitt ein wesentlich einfacheres Standardverfahren gibt (Prinzip: Algebraische Methode beim Lösen von Konstruktionsaufgaben).

Frage nach, wenn du es nicht verstehst.

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Frage nach, wenn du es nicht verstehst.

ich verstehe Deine Aussage nicht:

... weil es für den goldenen Schnitt ein wesentlich einfacheres Standardverfahren gibt

Für die Konstruktion der äußeren Teilung nach Euklid benötige ich 5 Kreise und eine Gerade. Dadrunter habe ich es nicht hinbekommen. Versuche es mal selber. Und das Verfahren nach Odom ist deutlich aufwendiger.

Das von mir vorgestellte Verfahren zur Konstruktion von $|BS|$ (s.o.) benötigt 3 Kreise und 3 Geraden.

Was ist dann an dem "Standardverfahren" wesentlich einfacher? Oder meinst Du ein anderes?

Und warum sollte es keine weiteren Konstruktionen geben, nur weil es ein klassisches einfaches gibt? Zumal das Verfahren von Odom 1982 veröffentlich wurde und die Konstruktion der inneren Teilung von Kurt Hofstetter erst 2005.

Und warum gibt es dann mehrere 100 Beweise für den Satz des Pythagoras?

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Zeichne die zu teilende Strecke AB. Errichte in B eine Senkrechte zu AB und darauf einen Punkt C mit BC = AB/2. Verbinde A mit C und erzeuge dort den Punkt D mit AD = AC -BC.

Die Länge AD entspricht der größeren der beiden Teilstrecken bei der Teilung von AB im goldenen Schnitt.

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Du beschreibst die Konstruktion der inneren Teilung nach Heron. Sind übrigends 7 Kreise und 3 Geraden, wenn ich mich nicht verzählt habe.

Was willst Du uns damit sagen?

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Hallo Werner,

danke für deine geniale Lösung. Jetzt muss ich nur noch nachvollziehen, wieso deine Konstruktion richtig ist.

Auch dir ein gutes Jahr 2025!

Monty

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Jetzt muss ich nur noch nachvollziehen, wieso deine Konstruktion richtig ist.

sollte recht einfach sein, wenn man das ganze in ein Koordinatensystem einbringt - z.B. mit $A=(-0,5|\,0)$ und $B=(0,5|\, 0)$ - und dann den Schnittpunkt der roten Geraden berechnet.

Mir ist aber noch ein einfacher Beweis eingefallen, der sich auf der Konstruktion von Kurt Hofstetter abstützt. Hofstetter hat einen Beweis im Forum Geometricorum veröffentlich, der sich auf einen älteren Beweis von 2004 beruft.

In der unten stehenden Skizze kann man also voraussetzen, dass $H$ die Strecke $AB$ im Verhältnis $\Phi \div 1$ teilt. Bzw. $$\quad\frac{|AB|}{|AH|} = \Phi$$

Man betrachte nun das Dreieck $\triangle ADQ$. Offensichtlich ist hier $DQ$ parallel zur Geraden durch $AB$ und $|DQ|=|AB|$ (Die Punkte D, Q, B und P sind 4 von 6 Ecken eines regelmäßigen Sechsecks). Die beiden Dreiecke $\triangle AHS$ und $\triangle DQS$ sind ähnlich. Folglich ist$$\quad\frac{|DS|}{|AS|} = \frac{|DQ|}{|AH|} = \Phi$$und weiter gilt$$\quad |DS| = \left(|DA| = |AB|\right) + |AS| \\ \begin{aligned}\quad\implies \frac{|AB|+|AS|}{|AS|} &= \Phi \\ \frac{|AB|}{|AS|} &= \Phi - 1 = \frac{1}{\Phi} \\ &\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Gruß Werner

Answer 2

Das Verhältnis 9 : AD entspricht einer Teilung der Strecke BD im Verhältnis des goldenen Schnitts.

Es gilt auch AA' = AD.

Comments

Das ist mir schon klar. Aber wie hilft das bei der gesuchten Konstruktion?

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Nimm dir eine beliebige Strecke der Länge 9 LE und teile sie im Verhältnis des goldenen Schnitts (bekannte Grundkonstruktion). Die längere der beiden entstehenden Teilstrecken wird die Basis AA', und die beiden Schenkel AB und A'B haben die Länge 9.