Berechnung Determinante unklar

Question

Text erkannt:

Consider the matrix $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n} \quad(n \in \mathbb{N})$ where
$a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { if } i=j \\ i & \text { if } i \neq j \end{array}\right.$

Text erkannt:

Consider the matrix $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n} \quad(n \in \mathbb{N})$ where
$a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} 4 & \text { if } i=j \\ 1 & \text { if } i \neq j \end{array}\right.$

Compute the determinant $\operatorname{det}(A)$.

Aufgabe:

Siehe Bilder

Problem/Ansatz:

Hallo, ich komme hier bei den Aufgaben nicht weiter und die Zeit drängt. Gibt es vielleicht ein ähnliches Vorgehen um beide Aufgaben zu lösen. Oder wie geht man vor?

Vielen Dank im Voraus

Comments

crossposting mit onli.... Dort wurde auch die Aufgabe vollständig, mit angegebenem Hinweis und Lösung gepostet. Und auch vollständig beantwortet.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Du kannst aus jeder Zeile einer Deterimante einen Faktor herausziehen:$$|A|=\left|\begin{array}{c}0 & 1 & 1 & 1 & \cdots &1\\2 & 0 & 2 & 2 & \cdots & 2\\3 & 3 & 0 & 3 & \cdots & 3\\4 & 4 & 4 & 0 & \cdots & 4\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\n & n & n & n & \cdots & 0\end{array}\right|=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots n\cdot\left|\begin{array}{c}0 & 1 & 1 & 1 & \cdots &1\\1 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 0 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 1\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right|$$

Zur Bestimmung der Determinante der verbliebenen Matrix lesen wir ihre Eigenwerte ab. Es fällt nämlich auf, dass die Einträge in jeder Zeile der Matrix die Summe $(n-1)$ bilden. Wenn wir die Matrix mit einem Vektor multiplizieren, der aus lauter Einsen besteht, erhalten wir einen Vektor, mit der Summe der Zeilen als Einträge, das heißt:$$\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 1 & 1 & \cdots &1\\1 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 0 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 1\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\\\vdots\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n-1\\n-1\\n-1\\n-1\\\vdots\\n-1\end{array}\right)=(n-1)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\\\vdots\\1\end{array}\right)$$Das heißt $(n-1)$ ist ein Eigenwert der verbliebenen Matrix.

Die anderen Eigenwerte kannst du ebenfalls sofort ablesen, dazu betrachte:

$$\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 1 & 1 & \cdots &1\\1 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 0 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 1\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\1\\0\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\-1\\0\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)=(-1)\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\1\\0\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 1 & 1 & \cdots &1\\1 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 0 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 1\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\0\\1\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\0\\-1\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)=(-1)\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\0\\1\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)$$

Wenn die diese Konstruktion bis zum Ende fortführst, erhalten wir $(n-1)$-mal den Eigenwert $(-1)$ mit $(n-1)$ linear unabhängigen Eigenvektoren.

Da das Produkt der Eigenwerte einer Matrix gleich ihrer Determinate ist, erhalten wir die Determinante von $A$ aus dem Vorkfaktor $n!$, den wir durch das Herausziehen der Zeilen-Faktoren gewonnen haben, dem Eigenwert $(n-1)$ und den $(n-1)$ Eigenwerten $(-1)$:$$\left|A\right|=n!\cdot(n-1)\cdot(-1)^{n-1}$$

zu b) Die Matrix $B$ hat dieselben Eigenvektoren wie die verbliebene Matrix in Teil (a). Überlege dir, dass zum Eigenvektor $(1;1;1;\cdots;1)^T$ der Eigenwert $(n+3)$ gehört. Überlege dir dann, das zu den anderen Eigenvektoren jeweils der Eigenwert $3$ gehört. Das ergibt dann als Determinate:$$\left|B\right|=(n+3)\cdot3^{n-1}$$

Comments

Wie lange brauchst du eigentlich für so eine Aufgabe um sie zu rechnen und sie dann hier so zu schreiben?

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Zu rechnen war hier ja nicht viel, daher war der aufwändigste Teil tatsächlich das Aufschreiben der Lösung. Dank Copy-Paste ging das aber auch recht zügig, habe etwa 20 Minuten gebraucht.

Das Problem ist, dass der Editor hier im Forum aus dem letzten Jahrtausend ist. Aus der Softwareentwicklung bin ich es gewoht, dass unterschiedliche Quelltext-Elemente in unterschiedlichen Farben dargestellt werden. Dadurch findet man sich im Quelltext sehr schnell zurecht. Bei dem Editor hier geht die meiste Zeit dafür drauf, nach dem Copy-Pasten die Stellen zu finden, wo sich die Terme durch den Rechenschritt geändert haben. Eine Darstellung in unterschiedlichen Farben (z.B. Latex-Schlüsselworte und Steuerzeichen in eigenen Farben) würde das Suchen stark beschleunigen.

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Vielen vielen Dank für die Mühe, ich hab’s jetzt endlich verstanden :)

Answer 2

Was hast du denn schon versucht? Ist dir klar, wie die Matrizen aussehen? Hast du mal die Determinanten für $n=2$, $n=3$, und $n=4$ berechnet und hast du ein Muster festgestellt? Ist hier vielleicht vollständige Induktion nützlich?