Aus einem
48 cm langem Draht soll ein Kantenmodell eines
geraden quadratischen Prismas hergestellt werden. Die Kantenlängen sind so zu bestimmen, dass das Volumen maximal wird.
a ist die Grundkante und h die Höhe des Prisma .
Zielfunktion:
V(a,h)=a2⋅h soll maximal werden.
Nun haben 8 Kanten des Prisma die Länge a und 4 Kanten die Länge h.
Nebenbedingung:
48=8a+4h→ 12=2a+h Dies nun nach h auflösen:
h=12−2a und in die Zielfunktion einsetzen:
V(a)=a2⋅(12−2a)=12a2−2a3 Nun das Maximum finden:
V′(a)=24a−6a2
24a−6a2=0→4a−a2=0
a(4−a)=0 Satz vom Nullprodukt:
a1=0 kommt nicht in Betracht.
4−a=0
a2=4 in h=12−2a einsetzen:
h=12−2⋅4=4
V=16⋅4=64 cm3
Das maximale Prisma ist ein Würfel.