Extremwertaufgaben Prisma und Blumenbeet

Question

Aufgabe:

Aufgabe 4

Aus einem 48 cm langem Draht soll ein Kantenmodell eines quadratischen Prismas hergestellt werden. Die Kantenlängen sind so zu bestimmen, dass das Volumen maximal wird.

Aufgabe 5

Im Stadtpark soll eine quadratische Flâche mit der Seitenlànge 10 m neu gestaltet und teilweise mit Fruhlingsblumen bepflanzt werden. Die Eckpunkte des neuen bepfianzten Rechtecks liegen auf den Kanten der quadratischen Fläche. Die Längsseiten des Rechtecks sind paraliel zu einer Diagonalen des Quadrates.

a) Wie lang sind die Seiten des Blumenbeetes, wenn dessen Flache so groß wie moglich sein soll?

b) Das Beet soll mit Steinplatten umrandet werden. Je Meter Steinplatte werden 20 € veranschlagt. Welche Maße hat dann das kostengünstigste Beet?

Problem/Ansatz:

kann jemand bitte 4 und 5 schritt für schritt lösen ICH KOMME NICHT WEITER

Comments

Es ist besser, wenn Du die Fragen einzeln stellst und jeweils erklärt, was genau Du nicht verstehst

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Es bleibt unklar, ob Du nicht weiterkommst, oder nicht anfangen kannst. Schreibe jeweils die Zielfunktion (manche Lehrer sagen dem Hauptbedingung) und die Nebenbedingung auf. Geht das?

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Bin ehrlich ich verstehe es nicht könnte sie es lösen

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Siehe: https://www.mathelounge.de/535365/artikel-rezept-fur-extremwertaufgaben

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Die Frage war ja, ob Du Zielfunktion und Nebenbedingung aufstellen kannst?

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Gelöscht Gelöscht

Answer 1

dass das Volumen maximal wird.

1. Hauptbedingung: Formel für das Volumen hinschreiben

Aus einem 48 cm langem Draht soll ein Kantenmodell eines quadratischen Prismas hergestellt werden.

2. Nebenbedingung: Formel für die Kantenlänge hinschreiben und 48 einsetzen.

3. Nebenbedingung nach eine Variablen auflösen.

4. Ergebnis in die Volumenformel einsetzen. Das ist die Zielfunktion.

5. Hochpunkt der Zielfunktion mittels Differenzialrechung bestimmen.

Comments

3. Nebenbedingung nach eine Variablen auflösen.

Wenn Teil 1 und 2 schon Schwierigkeiten gemacht haben, wird dieser Teil bei Aufgabe 4 zum no-go!

@Shahzaad1234 Frage: wurde der Lagrange-Multiplikator schon mal im Unterricht erwähnt?

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Wenn Teil 1 und 2 schon Schwierigkeiten gemacht haben, wird dieser Teil bei Aufgabe 4 zum no-go!

Völliger Blödsinn. Ich wüsste nicht, wo das zu einem Problem führt.

wurde der Lagrange-Multiplikator schon mal im Unterricht erwähnt?

Mir ist kein Lehrplan in Deutschland bekannt, der das vorsieht.

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wurde der Lagrange-Multiplikator schon mal im Unterricht erwähnt?

Wird nicht benötigt, da das Prisma eine quadratische Grundfläche hat.

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@döschwo, wie kann man nur so dünnhäutig sein... Langsam bekommt man wirklich den Eindruck, dass du es nur noch darauf abgesehen hast, irgendwelche Kommentare von mir zu melden.

Ich sehe diesen Kommentar jedenfalls nicht als Beleidigung an. Dir mag die Wortwahl vielleicht nicht passen, beleidigend ist er dennoch nicht, nur weil ich die Aussage als Blödsinn bezeichne, weil es nun einmal ist.

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Apfelmännchen würde auch an Leonhard Euler den Kommentar 'völliger Blödsinn' versenden, wenn er glaubt dass Euler Blödsinn schreibt. Er ist halt ein Ehrlicher.

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@Roland: Mit Kritik und Direktheit kommt man hier anscheinend nicht zurecht. Schade.

Wäre "Völliger Quatsch" besser? Es ist doch unerheblich, wie man das nun schimpft. Fakt ist, dass die Aussage schlichtweg falsch ist.

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Ist nicht unerheblich, wie man das schimpft. Man reizt damit u.U. unnötig die Zündschnur mancher Leute.

Völliger Blödsinn ist für mich allerdings die Zielfunktion "Hauptbedingung" zu nennen (auch wenn das in manchem Unterricht gemacht wird). Es ist eben gar keine Bedingung, und die (falsche) Idee es gebe hier zwei Bedingungen führt bei vielen zu Verwirrung. Gerade in Zeiten, in denen die sprachlichen Kompetenzen zurückgehen, ist das völlig unnötig.

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Sehr guter Hinweis zum Sprach-Missbrauch "Hauptbedingung".

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Das Volumen muss mittels Produkt aus dem Quadrat einer Seite der Grundfläche und der Höhe des Prismas berechnet werden können. Das ist eine Bedingung, und zwar die Hauptbedingung.

Die Nebenbedingungen schränken die Hauptbedingung ein, indem sie einen Zusammenhang zwischen einer Seite der Grundfläche und der Höhe des Prismas angeben.

Ich halte die Terminologie für angebracht.

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Sehr guter Hinweis zum Sprach-Missbrauch "Hauptbedingung".

Aber es "völliger Blödsinn" zu nennen ist beleidigend. Bitte beherzige doch den Buchtipp von döschwo...

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"muss berechnet werden" ist keine Bedingung. Dann wäre jede Aufgabenstellung eine Bedingung. Die Sprachkompetenzen halt...

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@AM: Müssen wir jetzt eine Diskussion darüber anzetteln, ob ich mir durch die knappe Befürwortung der nomenklatorischen Bemerkung von nudger seine Formulierung zu eigen gemacht habe??

Ich hätte es nicht Blödsinn genannt sondern Unsinn.

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Ich hab @am's Bemerkung an mich gerichtet verstanden, nicht an Dich (mathhilf). Ich hätte es auch erstmal nicht so genannt, hab es nur spontan aufgegriffen.

Und darüber, ob bei gewissen Einsetzungsschritten und Umformungen Schwierigkeiten zu erwarten sind, kann man sicherlich streiten. Nicht aber darüber, was eine Bedingung für ein sprachlich/mathematisches Konstrukt ist.

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Du streitest gerade darüber.

Answer 2

Aufgabe 5


\( A \) : Flächeninhalt des Rechtecks

\( \ell \) : Länge des Rechtecks

\( b \) : Breite des Rechtecks


5a)

Zielfunktion: maximiere \( A = \ell \cdot b \)

Nebenbedingung: \( b^2 = (10- \ell / \sqrt{2})^2 + (10- \ell / \sqrt{2})^2 \\ \qquad \qquad \quad \Longrightarrow \quad b= \sqrt{\ell^2-20\sqrt{2}\,\ell +200}= 10 \sqrt{2}-\ell\)


5b)

minimiere den Umfang

Answer 3

Aus einem \(\red{48}\) cm langem Draht soll ein Kantenmodell eines geraden quadratischen Prismas hergestellt werden. Die Kantenlängen sind so zu bestimmen, dass das Volumen maximal wird.

a ist die Grundkante und h die Höhe des Prisma .

Zielfunktion:

\(V(a,h)=a^2\cdot h\)  soll maximal werden.

Nun haben 8 Kanten des Prisma die Länge a und 4 Kanten die Länge h.

Nebenbedingung:

\(\red{48}=8a+4h\)→ \(12=2a+h\) Dies nun nach h auflösen:

\(h=12-2a\) und in die Zielfunktion einsetzen:

\(V(a)=a^2\cdot (12-2a)=12a^2-2a^3\) Nun das Maximum finden:

\(V'(a)=24a-6a^2\)

\(24a-6a^2=0\)→\(4a-a^2=0\)

\(a(4-a)=0\)  Satz vom Nullprodukt:

\(a_1=0\)   kommt nicht in Betracht.

\(4-a=0\)

\(a_2=4\)   in  \(h=12-2a\) einsetzen:

\(h=12-2\cdot 4=4\)

\(V=16\cdot 4=64\)  \( cm^{3} \)

Das maximale Prisma ist ein Würfel.

Comments

Vielleicht sollte man erwähnen, dass nur ein gerades Prisma in Frage kommt.

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Danke , habe das eingebaut.

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Nicht eingebaut, sondern die Aufgabe abgeändert. Das gesuchte Prisma muss aber auch dann gerade sein, wenn das nicht in der Aufgabe steht.

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Ich nehme zunächst an, das Prisma sei nur in eine Richtung schief. Wenn a die Kantenlänge von Grund- und Deckfläche ist und b die Länge der Seitenkanten und phi der Winkel zwischen Grundfläche und geneigter Seitenfläche, dann ist das Extremwertproblem

Es ist also ein gerades Prisma.

Das kann man auch mit zwei Winkeln optimieren, wenn das Prisma in zwei Richtungen schief sein darf.

Es hilft aber auch die Vorstellung, dass nach dem Prinzip von Cavalieri ein schiefes Prisma bei gleicher Höhe dasselbe Volumen hat wie ein gerades Prisma, es aber längere Seitenkanten hat, so dass man bei konstanter Länge der Seitenkanten mehr Volumen bekommt, wenn das Prisma gerade ist.