Fläche A berechnen, zwischen Kurve f und g

Question

Aufgabe:

Berechnung der Fläche a zwischen der Kurve f und g

Aufgabe a verständlich, da die Fläche unterhalb der x Achse auch mitgerechnet wird
Problem/Ansatz:

Frage : Wie die Fläche unterhalb der x achse wegbekommen, damit man nur die Fläche A hat?

Text erkannt:

3. Gegeben sind zwei quadratische Funktionen \( f \) und \( g \). Es gilt:
\( f(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{13}{4} x-\frac{11}{2} \text { und } g(x)=\frac{2}{15} x^{2}+\frac{1}{5} x-\frac{44}{15} \)

Gesucht ist der eingezeichnete Flacheninhalt A
(a) Tobias beginnt seine Rechnung mit \( A=\int \limits_{2}^{7}(f(x)-g(x)) d x \). Erkläre, warum sein Ansatz nicht stimmt

Text erkannt:

(b) Berechne A

Answer 1

Gesucht ist der eingezeichnete Flacheninhalt A.

(a) Tobias beginnt seine Rechnung mit \( A=\int \limits_{2}^{7}(f(x)-g(x)) d x \).
Erkläre, warum sein Ansatz nicht stimmt.

Der Ansatz von Tobias stimmt nicht, denn er schließt den nicht eingefärbten Teil der Einschlussfläche mit ein.

Oder anders formuliert: Er ist falsch,

..., da die Fläche unterhalb der x Achse auch mitgerechnet wird.

Es ergibt sich also die Frage:

Wie lässt sich die Fläche unterhalb der x-Achse wegbekommen, damit man nur die Fläche A hat?

Das ist eine gute Frage! Vielleicht geht es so: $$A = \int \limits_{2}^{7}f(x)\textrm{ d}x - \int \limits_{4}^{7}g(x)\textrm{ d}x = \dots$$

Comments

Der Ansatz von Tobias stimmt nicht, denn er schließt den nicht eingefärbten Teil der Einschlussfläche mit ein.

Genauer der nicht markierte Bereich im Intervall von 2 bis 4 unterhalb der x-Achse.

Sehr gut finde ich deine Berechnungsweise über 2 einfache Integrale.

Zur Kontrolle

∫ (2 bis 7) f(x) dx - ∫ (4 bis 7) g(x) dx = 1297/120 ≈ 10.81 FE

Answer 2

\(A=\int\limits_2^4 f(x)\, dx + \int\limits_4^7 (f(x)-g(x))\, dx\), siehe Bild (Aufteilung in zwei Flächen)

Hab Klammern beim zweiten Integral eingefügt, sind aber nicht nötig (ist auch so eindeutig lesbar).

Comments

Fehlen da nicht ein paar Klammern?

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Vielleicht stehe ich gerade auf der Leitung aber berechnet,das integral von f(x) mit der

grenze 2 bis 4, doch auch die Fläche unterhalb der X- Achse, also das kleine Mini stück das nicht zu A gehört.

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Im ersten Integral steht doch gar kein \(g(x)\), da kann das Integral doch gar nicht wissen, was unten noch kommt.

Generell ist das Integral stets gleich dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse, für Funktionen, die dort \(\ge 0\) sind.

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Und Korrekturen vorgenommen ohne zu dokumentieren? Ist das redlich?