Ungleichungssystem lösen

Question

Aufgabe: Löse das folgende Ungleichungssystem:

Text erkannt:

$\begin{array}{l}|2 x-3|+|x+1| \leq 7 \\ |x-2|>1\end{array}$

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier vor?

Comments

z.B. über Quadrieren und Kontrolle, ob es stimmt. Denn Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.

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Hab das gerad mal probiert, bin aber nicht weit gekommen. Kannst du mal zeigen, was ich da bei der ersten Ungleichung machen soll?

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Für die erste Ungleichung ist das ja auch keine so gute Idee.

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Bei der 2.

$|x-2|>1|^{2}$

$(x-2)^2>1|±\sqrt{~~}$

1. )

$x-2>1$

$x>3$

Probe zB für $x=4$...

2. )

$x-2<-1$

$x<1$

Probe zB für $x=-1$...

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aber bei der ersten fallen die doofen beträge ja nicht alle weg. Was mache ich dann?

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Ich denke nicht, dass Du eine Antwort erhalten wirst.

Von diesem Ansatz kann ich Dir auch nur dringend abraten (auch für die zweite Ungleichung).

Wenn Du Beträge doof findest ist der richtige Weg, sie loszuwerden, über Fallunterscheidungen. Wie das geht, siehst Du in den beiden Antworten.

Einfacher geht es leider nicht, aber dieser Weg funktioniert immer. Daher solltest Du ihn üben, so schlimm ist es nicht :-)

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Sehe ich genauso. Für die zweite Ungleichung (und ähnliche, mit linearem Term in den Betragsstrichen) empfehle ich die Zahlengerade und die Erkenntnis, dass $|x-a|$ der Abstand von $x$ zu $a$ auf der Zahlengeraden ist. Dann ist die Lösungsmenge der zweiten Ungleichung sofort anschaulich klar. - Solche Überlegungen braucht man später (im komplexen und mehrdimensionalen) sowieso.

Answer 1

Z.B. über Fallunterscheidungen

|x - 2| > 1

Fall 1: x - 2 > 0 --> x > 2

x - 2 > 1 --> x > 3

Fall 2: x - 2 < 0 --> x < 2

-(x - 2) > 1 --> x < 1

Zusammenfassung der Lösung nur für diese Ungleichung

x < 1 ∨ x > 3

Probiere das mal mit der anderen Ungleichung.

Kontroll-Lösung: |2·x - 3| + |x + 1| ≤ 7 --> -5/3 ≤ x ≤ 3

Damit wäre die Gesamtlösung dann:

(x < 1 ∨ x > 3) ∧ (-5/3 ≤ x ≤ 3) --> -5/3 ≤ x < 1

Comments

Hier liegen Ungleichungen vor ...

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Ich habe die zwei Begriffe korrigiert.

Answer 2

Bei Beträgen macht man am besten immer eine Fallunterscheidung, so dass man die Beträge dann entsprechend auflösen kann.

Für die Ungleichung

$|2x-3|+|x+1|\leq 7$

kann man bspw. folgende Fälle untersuchen:

$2x-3\geq 0$ und $2x-3\leq 0$ sowie $x+1\geq 0$ bzw. $x+1\leq 0$.

Nehmen wir also mal $2x-3\geq0$. Daraus folgt $x\geq\frac{3}{2}$.

In diesem Fall ist $|2x-3|=2x-3$ und da auch $x+1\geq0$ gilt, ist $|x+1|=x+1$.

Damit vereinfacht sich die Ungleichung zu

$2x-3+x+1\leq 7$.

Das liefert dir dann $3x\leq 9$ bzw. $x\leq 3$.

Damit ist die Ungleichung schonmal für $\frac{3}{2}\leq x\leq3$ erfüllt (Schnittmenge aus der Bedingung für den Fall $x\geq\frac{3}{2}$ und des obigen Resultats).

Gehe so auch die anderen Fälle an. Am Ende nimmst du dann die Vereinigung dieser Teillösungen. Da kann als Hilfe ein Zahlenstrahl dienen.

Beachte außerdem, dass für $x\leq 0$ gilt, dass $|x|=-x$.

Wenn also $2x-3\leq 0$ ist, gilt $|2x-3|=-(2x-3)$.

Für das Ungleichungssystem müssen beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sein. Hier bildet man dann wieder die Schnittmenge aus den Lösungsmengen der einzelnen Ungleichungen.

Comments

Was meinst Du mit "Schnittmenge der Bereiche"?

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Weißt du nicht, was eine Schnittmenge ist? Ich hätte auch Intervalle statt Bereiche schreiben können... Oder die Schnittmenge der Lösungsmengen, die sich bei den einzelnen Fällen ergeben.

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Für die erste Ungleichung ergeben sich 3 Fälle. Für jeden Fall bestimmt man eine Teilmenge der Lösungsmenge. Das Gesamtergebnis ist die Vereinigung dieser 3 Teilmengen.

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Ach, jetzt weiß ich, was du meinst und sehe auch das Problem. Die Schnittmenge nimmt man mit der Bedingung aus dem entsprechenden Fall und dann von diesen Teilergebnissen die Vereinigung. Ich passe das an. :)

Answer 3

Aloha :)

Bei der ersten Aufgabe würde ich einfach die möglichen Fälle durchrechnen:

$$\text{1. Fall: }x\ge\frac32$$$$|\underbrace{2x-3}_{\ge0}|+|\underbrace{x+1}_{\ge0}|=(2x-3)+(x+1)=3x-2\stackrel{!}{\le}7\implies x\le3$$Wir haben Zahlen $x\ge\frac32$ betrachtet und erhalten gültige Lösungen bis $x\le3$.

Dieser Fall liefert also die Lösungen $x\in\left[\frac32\big|3\right]$.

$$\text{2. Fall: }-1\le x<\frac32$$$$|\underbrace{2x-3}_{\pink{<0}}|+|\underbrace{x+1}_{\ge0}|=\pink-(2x-3)+(x+1)=-x+4\stackrel{!}{\le}7\implies x\ge-3$$Wir haben Zahlen aus $x\in[-1\big|\frac32)$ betrachtet und erhalten gültige Lösungen für $x\ge-3$.

Dieser Fall liefert also die Lösungen $x\in\left[-1\big|\frac32\right)$.

$$\text{3. Fall: }x<-1$$$$|\underbrace{2x-3}_{\pink{<0}}|+|\underbrace{x+1}_{\pink{<0}}|=\pink-(2x-3)\pink-(x+1)=-3x+2\stackrel{!}{\le}7\implies x\ge-\frac53$$Wir haben Zahlen $x<-1$ betrachtet und erhalten gültige Lösungen für $x\ge-\frac53$.

Dieser Fall liefert also die Lösungen $x\in\left[-\frac53\big|-1\right)$.

Alle 3 Fälle zusammengefasst liefern uns alle Lösungen:$\quad x\in\left[-\frac53\big|3\right]$

Bei der zweiten Aufgabe kannst du direkt in die beiden möglichen Fälle aufspalten:$$|x-2|>1\Longleftrightarrow(x-2)>1\;\lor\;(x-2)<-1\Longleftrightarrow x>3\;\lor\;x<1$$

Comments

Wir haben Zahlen aus $x\in[-1\big|\frac32]$ betrachtet

Das ist nicht richtig.

Außerdem sind das keine getrennten Aufgaben, sondern ein Ungleichungssystem.

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Danke dir, ich habe $x\in\left[-1\big|\frac32\right]$ zu $x\in\left[-1\big|\frac32\right)$ korrigiert.

So kleine Fehlerchen passieren mir manchmal bei Copy-Paste aus der Vorzeile.