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Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeit

a) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 40 unter den sechs gezogenen Zahlen beim Spiel 6 aus 49 ist (die Zusatzzahl spielt hier keine Rolle), unter der Voraussetzung, dass genau 4 der gezogenen Zahlen ≤ 20 sind? Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass unter den sechs gezogenen Zahlen beim Spiel 6 aus 49 genau zwei ≥ 40 sind, unter der Voraussetzung, dass genau eine der gezogenen Zahlen ≤ 20 ist?

b) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe von zwei Würfeln gleich 8 ist, unter der Voraussetzung, dass keiner der Würfel eine 1 zeigt?

c) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass bei 8 Münzwürfen genau viermal Kopf fällt, unter der Voraussetzung, dass bei den ersten 4 Würfen genau zweimal Kopf gefallen ist? Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass bei 8 Münzwürfen genau viermal Kopf fällt, unter der Voraussetzung, dass bei den ersten 4 Würfen genau dreimal Kopf gefallen ist?

Aufgabe 2: Unabhängigkeit

a) Zeigen Sie, dass aus der Unabhängigkeit von zwei Ereignissen A und B auch die Unabhängigkeit der Komplementärereignisse folgt.

b) Ist es möglich, dass zwei Ereignisse A und B unabhängig sind, B nicht unabhängig von einem Ereignis C, aber C wieder unabhängig von A ist?

c) Beweisen Sie das Folgende: Ist (Ω, Pr) ein Wahrscheinlichkeitsraum, in den alle Ereignispaare A, B unabhängig sind, dann gibt es genau ein a ∈ Ω Init Pr(a) = 1. Hinweis: Indirekter Beweis!


Ich habe versucht, das mit Bayes-Tafel zu lösen, aber da kam nichts Logisches raus.

Gefragt von

1 Antwort

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1.b ist afaik relativ simpel

Formel für Bedingte Wahrscheinlichkeit: Pr(A | B) = Pr(A ∩ B) / Pr(B)  wobei B die Vorbedingung und A die gesuchte Bedingung ist.

A: Summe der Würfe ist 8

B: beide sind KEINE 1

 

Pr(B) = 5/6 * 5/6 = 25/36 (W.keit, KEINE 1 zu bekommen ist 5/6 pro Wurf..)

Pr(A∩B) = 5/36 (Hier wäre es cool, wenn jemand näher erklären kann, wie man A∩B rechnet. Bei dieser Aufgabe war es "relativ" leicht zu erraten, da sich die gesamte Menge von A (Pr(A) = 5/36) in B befindet und somit Pr(A∩B) = Pr(A)...)

Somit kommen wir auf:

Pr(A|B) = 5/36 / 25/36 = 1/5

 

zu Aufgabe 1.c

Könnte jemand mein Ergebnis bestätigen bzw. mich ggf. auf meine Fehler hinweisen? Bin mir nicht sicher:

 

A: 8 Würfe generieren 4x Kopf

B: die ersten 4 Würfe generieren 2x Kopf

 

Pr (B) = (1/2)^4 = 1/16 (Sowohl für Erfolg als auch Misserfolg ist die Chance mit JEDEM Wurf (1/2)..)

Pr(A∩B) = (1/2)^8 = 1/256 (gleiche Begründung wie bei A: )

Pr(A | B) = 1/256 / 1/16 = 1/16 (ist das zu einfach gedacht?)

 

mfg

Beantwortet von
Moin,

 

also bei b geh ich mit!

Bei c hab ich es anders gemacht und komme auch auf ein anderes Ergebnis.

Wir haben 6 Möglichkeiten 2 mal Kopf auf die ersten vier Würfe zu verteilen!

Pro Kombi haben wir 6 Möglichkeiten 2 mal Kopf auf die restlichen vier Würfe zu verteilen, also:

6*6 = 36 Möglichkeiten!

Insgesamt gibt es ja 256 Möglichkeiten und somit bekomme ich dann:

Pr (A | B) = 36 / 256

Den zweiten Teil analog!

 

Ich hab übrigens bei 1 a) einmal 5,8% und dann 6,2% raus. Kann das einer bestätigen?

Grüße Conde

Hey, dein Kommentar für c) hat mir den Anstoß gegeben, den ich gebraucht habe, danke!

 

Dennoch habe ich was anderes heraus:

Zum lesen: (n über k) --> (nCk), also zb. (4C2) == 4 über 2

 

1c)

Pr(B) = (4C2) / 2^4 = 3/8

Pr(A∩B) = ( (4C2) * (4C2)) / 2^8 = 9/64

Pr(A|B) = (9/64) / (3/8) = 3/8

 

zu Aufgabe 1.a)

beim 1.ten Teil habe ich:

Pr(A|B) = 28 / (29C2)

beim 2.ten Teil habe ich:

Pr(A|B) = ( (10C2) * (19C3) ) / (29C5)

 

mfg

Habt ihr 2b, c und 3 auch gemacht?

Bitte, da komm ich nicht weiter
Also 2 b geht genau wie 2 a.

Du guckst nach allen günstigen Ergebnissen (die in Frage kommen), das dann durch alle möglichen Ergebnisse = Pr (A∩B).

Das teilst du dann durch die Wahrscheinlichkeit das B eintritt also Pr(B) und bekommst dann Pr( A | B ).

2 c hab ich keinen Ansatz gefunden.

Und bei 3 musst du doch nur zeigen dass Pr (¬A ∩ ¬B) = Pr (¬A) * Pr (¬B) ist.

Pr (¬A ∩ ¬B) = (De Morgan) Pr (¬(A∪B)) = 1 - Pr (A ∪ B) = 1 - (Pr (A) + Pr (B) - Pr (A ∩ B))

 

= 1 - Pr (A) - Pr (B) + Pr (A ∩ B) = (A und B unabhängig) 1 - Pr (A) - Pr (B) - Pr (A) * Pr (B)

= (1 - Pr (A)) * (1 - Pr (B)) = Pr (¬A) * Pr (¬B)

qed.

Gruß

Conde
ich meine mit aufgabe 3 die erwartungswertaufgaben.

und den beweis von 2b.) ist nicht einleuchtend bei mir.

kannst du es bitte posten

 

 

 

danke im voraus
hmm sehe ich das richtig dass bei 1c folgendes verlangt wird:

4mal werfen mit 2 mal kopf, dann nochmal 4mal werfen mit 2mal kopf?

ich zerbrech mir hier grad den kopf an euren lösungen, aber ich denke es geht einfach nur um das eben beschriebene

Das geht sehr gut mit dem im skript auf seite 57 gezeigtem diagramm

Im grunde: (6/16)² = 9/64

(6 möglichkeiten 2 mal kopf zu erzielen bei 4 würfen; insgesamt 16 verschiedene ereignisse möglich be 4 mal würfeln, das ganze konsekutiv 2 mal)
Wir kennen das Skript nicht, wie wäre es mit einem Link oder einem Auszug aus besagter Stelle?

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