Wie viel Palmöl wurde insgesamt/zu bestimmten Quartalen produziert?

Question

Aufgabe:

Palmöl wird vor allem in der Nahrungsmittelindustrie und zur Herstellung von Kosmetik verwendet. Anfang 1981 (t=0) betrug die Anbaufläche 3,98 Millionen Hektar. Der jährliche Ertrag einer Palmölplantage beträgt im Durchschnitt 4,2 Tonnen pro Hektar. Da die Nachfrage in den letzten Jahrzehnten stark angestiegen ist, wurden am Ende jeden Jahres 0,25 Millionen Hektar zusätzliche Anbauflächen für Plantagen freigegeben.

1. Auf wie viel Fläche (in Millionen Hektar) wurde zu Anfang des 1. Quartals 2009 Palmöl produziert?
2. Wie viel Palmöl (Produktionsrate, in Millionen Tonnen pro Jahr) wurde zu Anfang des 1. Quartals 2009 produziert?
3. Wie viel Palmöl (Produktionsrate, in Millionen Tonnen pro Jahr) wurde zu Anfang des 2. Quartals 2009 produziert?
4. Wie viel Palmöl (in Millionen Tonnen) wurde zwischen Anfang des 1. Quartals 2009 und Anfang des 1. Quartals 2010 produziert?
5. Wie viel Palmöl (in Millionen Tonnen) wurde insgesamt bis zum Anfang des 1. Quartals 2010 produziert?

Wie verändern sich die gesuchten Größen, wenn statt einmal jährlich die Freigabe der Anbauflächen kontinuierlich im Ausmaß von Millionen Hektar pro Jahr erfolgt? Ich habe daher pro Frage zwei Antworten mit jeweils "Freigabe am Ende des Jahres (a) " und "Freigabe kontinuierlich (b)".

Problem/Ansatz:

Ich habe mich an dieser Aufgabe orientiert: https://www.mathelounge.de/836171/palmol-produziert-kontinuerlich

Und habe diese Ergebnisse:

1. a.) & b.) 3,98 + 0,25 * 28 = 10,98 

2. a.) & b.) 10,98 * 4,2 = 46,11 

3. a.) 10,98 + 4,2 = 46,11; b) (3,98+0,25*28,25)*4,2= 46,38

4. a) 10,98 * 4,2 = 46,11; b) Integral von 28 bis 29 (3,98 + 0,25x) * 4,2 dx = 46,64

5. a) 3,98 + 4,2 *(0,25*29-1)/0,25-1)= 22,29; b) Integral von 0 bis 28 (3,98 + 0,25x) * 4,2 dx = 879,65

Zwei Antworten wären falsch, aber weiß leider nicht welche. Könnte mir bitte jemand helfen? Vielen Dank im Voraus!

Comments

kontinuierlich im Ausmaß von Millionen Hektar pro Jahr

Da tut etwas fehlen. Wahrscheinlich zwischen den Wörtchen "von" und "Millionen".

10,98 * 4,2 = 46,11

Das ist falsch gerundet

10,98 + 4,2 = 46,11

und diese Gleichung ist falsch.

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Tut mir sehr leid; ich meine natürlich 10,98 * 4,2 = 46,11 und richtig wäre es "kontinuierlich im Ausmaß von 0,25 Millionen Hektar pro Jahr". Wegen dem Runden - ich habe 3-Mal die Antwort 46,11 gegeben und nur 2 Antworten falsch, deshalb gehe ich davon aus, dass diese Antworten passen...

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ich meine natürlich 10,98 * 4,2 = 46,11

Auch das ist falsch gerundet..

Answer 1

Wenn die Ölmenge nicht treppenförmig steigt sondern eben kontinulierlich, dann müssen die kumulierten Zahlen größer sein als im ersten Fall.

Comments

Macht auf jeden Fall Sinn, aber wie komme ich darauf?

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Das bestimmte Integral ist der Inhalt der Fläche unter der Kurve. Wenn die Kurve früher steigt, dann ist das Integral größer.

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Okay danke, dann schätze ich einmal, dass 5b.) bei mir stimmt und ich gehe auch davon aus dass Antwort 5a.) falsch ist und dass diese Zahl näher an der Antwort 5b.) liegen müsste. Wie komme ich aber nun auf Antwort 5a.)? Danke im Voraus!

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Die beiden Werte bei 5) sind falsch. Nebenbei, es sollte immer 46,12 richtig gerundet heißen. Die korrekten Werte lauten 911,06 bzw. 926,29.

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dann schätze ich einmal

Du sollst hier nicht schätzen, sondern rechnen.

Wie komme ich aber nun auf Antwort 5a.)?

5a)

\( \displaystyle \sum\limits_{j=1981}^{2009} \; \underbrace{\underbrace{(3,98 + (j-1981)\cdot 0,25)\vphantom{\Big|}}_{\text{Mio. Hektare im Jahr j}_{\vphantom{\big|}}} \cdot 4,2}_{\text{Mio. Tonnen im Jahr j}} \; \approx \; 911,06 \)

Bei 5b) muss das Integral von 0 bis 29 gehen, nicht bis 28.