Vektoren rechnen von einem Dreieck

Question

Aufgabe

Gegeben ist, das Dreieck ABC mit A=\( \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} \), B=\( \begin{pmatrix} 5\\2\\2 \end{pmatrix} \), C=\( \begin{pmatrix} 3\\0\\-2 \end{pmatrix} \)

a) bestellen Sie die Höhe h_c auf die Seite AB sowie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC

Problem/Ansatz

Ich hatte erst mal die Idee, den Mittelpunkt der Strecke AB auszurechnen. Ich habe dafür M=\( \begin{pmatrix} 3\\2\\0.5\end{pmatrix} \). Anschließend habe ich die Strecke von dem Mittelpunkt zu dem Punkt C ausgerechnet: MC= \( \begin{pmatrix} 0\\-2\\-2.5 \end{pmatrix} \) und dies dann im Betrag eingesetzt, damit ich dann die Länge dieses dieser Strecke bekomme: 3,20 (LE). Aber ich bekomme die falsche Lösung raus!

Kann mir jemand helfen?

Comments

Die Höhe steht senkrecht auf AB, Du hast die Seitenhalbierende genommen. Mach Dir eine Skizze (zweidimensional reicht).

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Falls du einmal den Flächeninhalt eines Dreiecks ohne vorherige Bestimmung der Höhe berechnen musst, kannst du auch den Flächeninhalt eines Parallelogramms nehmen und diesen durch zwei teilen.

Bilde das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren, z.B. AB und AC, dessen Betrag und halbiere ihn.

\(\vec{AB}\times \vec{BC}=\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2\\-2\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\10\\-8 \end{pmatrix}=\vec{u}\\|\vec{u}|=\sqrt{36+100+64}=10\sqrt{2}\\10\sqrt{2}\quad :\quad 2=5\sqrt{2}\approx 7,07\)

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Ich denke nicht, dass man das ohne Weiteres benutzen darf. Die Formel wird ja meist gar nicht erst gelehrt.

Answer 1

Die Höhe eines Dreiecks muss die zugehörige Grundseite ja auch nicht halbieren. Deswegen funktioniert dein Ansatz im Allgemeinen nicht (nur wenn die Grundseite die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist).

Bestimme einen Vektor durch \( C \), der senkrecht auf der Geraden, die den Vektor \( \overrightarrow{AB} \) (und damit die Grundseite) enthält, steht. Das sollte dir die notwendigen Bedingungen liefern. Du kannst dafür einen beliebigen Punkt \(P \) auf dieser Geraden nehmen, indem du die Geradengleichung aufstellst und die Koordinaten des Punktes mit Hilfe des Parameters darstellst. Der Parameter muss nun so gewählt werden, dass \(\overrightarrow{PC}\) orthogonal zur Geraden ist und damit zur Grundseite ist. Die Länge ergibt dann die Höhe.

Answer 2

Lotfußpunkt auf AB

AB = B - A = [4, 0, 3]

F = [1, 2, -1] + r·[4, 0, 3] = [4·r + 1, 2, 3·r - 1]

Mit CF senkrecht zu AB

CF = [4·r + 1, 2, 3·r - 1] - [3, 0, -2] = [4·r - 2, 2, 3·r + 1]

CF ⊥ AB --> [4·r - 2, 2, 3·r + 1]·[4, 0, 3] = 0 --> r = 0.2

Lotfußpunkt ermitteln

F = [1, 2, -1] + 0.2·[4, 0, 3] = [1.8, 2, -0.4]

CF = [4·0.2 - 2, 2, 3·0.2 + 1] = [-1.2, 2, 1.6]

Flächeninhalt

A = 1/2·|[4, 0, 3]|·|[-1.2, 2, 1.6]| = 5·√2

Answer 3

Aloha :)

Ausgehend vom Punkt \(A\) spannen die beiden Vektoren$$\small\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}5\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}\quad;\quad \overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$$das Dreieck auf. Der Betrag des Kreuzproduktes von zwei Vektoren liefert die Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms. Die Fläche des von ihnen aufgepannten Dreiecks ist halb so groß:$$F=\frac12\cdot\left\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\|=\frac12\cdot\left\|\begin{pmatrix}6\\10\\-8\end{pmatrix}\right\|=\frac12\sqrt{36+100+64}=\sqrt{50}=5\sqrt2$$

Der Flächeninhalt \(F\) des Dreiecks ist aber auch "Grundseite mal Höhe durch 2":$$F=\frac{\|\overrightarrow{AB}\|\cdot h_c}{2}=\frac{\sqrt{16+0+9}\cdot h_c}{2}=\frac52\cdot h_c\quad\implies\quad h_c=\frac25\,F=2\sqrt2$$