Symmetrie einer Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Der Graph ist Achsensymetrisch zu y-Achse aber ich verstehe irgendwie nicht die Begründung, „Da die Definitionsmenge symmetrisch ist folgt, dass Gg Achsensymetrisch ist, was hat die Definitionsmenge mit der Symetrie eine Funktion zutun?

Comments

Wie sähe denn der Graph auf [0,3] statt [-3,3] aus?

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Kleiner Tipp. Wenn die Definitionsmenge so einfach angegeben ist, sollte man zuerst prüfen, ob die symmetrisch zur 0 liegt, da das Prüfen des Funktionsterms durchaus etwas aufwändiger ausfallen kann. Oft hatten wir aber ohnehin nur R als Definitionsmenge.

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\(G_g\) ist genau dann symmetrisch zur y-Achse,
wenn \(g(-x)=g(x)\) für alle \(x\in D_g\) ist.

Wenn man die Aussage so formuliert, ist die Symmetrie des Definitionsbereichs gleich mit eingeschlossen.

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Das ist eine saubere Formulierung dessen, was vermutlich oswald in seiner Antwort meinte.

Answer 1

g(x)=g(-x) wurde darüber nachgewiesen. Zusätzlich(!) muss der Defbereich symmetrisch sein, damit der Graph symmetrisch ist.

Im übrigen sind nicht die Potenzen gerade, sondern die Exponenten der Potenzen.

Comments

Zusätzlich(!) muss der Defbereich symmetrisch sein, damit der Graph symmetrisch ist.

Wann ist der Definitionsbereich Symetrisch und wann nicht, kannst du das eventuell genauer erläutern bitte ?

Ist die Symetrie einer Funktion nicht unabhängig vom Definitionsbereich, da die Funktion ja immer Symetrisch zur y-Achse ist egal welcher Defintionsbereich gegeben ist ?

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Ein Intervall [-a,a] (a>0 sinnvollerweise) st symmetrisch um 0, auf der x-Achse. Beachte auch obigen Kommentar von user26605.

Funktionen sind auch nie symmetrisch zu irgendwelchen Achsen, höchstens deren Graph. Und da kommt eben der Defbereich ins Spiel.

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Ein Intervall [-a,a] ist symmetrisch um 0, auf der x-Achse.

Sind diese Folgenden Defintionsbereiche auch Symeterisch [9;-9] oder [12;-12] also immer die gleichen Zahl aber eine davon ist negativ ist das korrekt so?

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Deine Intervalle sind leere Mengen. Bei sinnvollen Intervallen steht die kleinere Zahl links.

Habe den vorigen Kommentar noch ergänzt.

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Vielen Dank, jetzt hab ich es besser verstanden, meine letzte Frage, man kann die Symetrie eines Graphen aber nicht nur durch die gegebenen Definitionsbereich beweisen oder?

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Genau. Es müssen beide Bedingungen erfüllt sein. Eine für die. Funktionsvorschrift, eine für den Defbereich.

Answer 2

Damit f achsensymmetrisch zur y-Achse ist, muss

        f(-x) = f(x)

für alle x aus dem Definitionsbereich von f gelten.

Ist zum Beispiel f(x) = x² mit Definitionsbereich [-2,3], dann ist f(3) = 3² = 9, aber f(-3) ist nicht definiert weil -3 nicht im Definitionsbereich von f liegt. Also gilt f(-3)=f(3) nicht. Somit ist f nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.

Comments

f kann gar nicht achsensymmetrisch zu irgendwas sein, nur der Graph von f. Der Unterschied ist hier wichtig, denn die Verwirrung rührt ja beim FS von der unscharfen Trennung der Begriffe Funktion/Funktionsvorschrift/Graph her.

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Mengentheoretisch betrachtet gibt es keinen Unterschied zwischen der Funktion und ihrem Graphen.

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Stimmt zwar, halte ich aber nicht für hilfreich bei ohnehin für den FS schwammigen Begriffen so zu verwenden.

Wird in der Aufgabenstellung auch nicht gemacht.