Warum zeigt dies die Aussage und wie kann man das beweisen?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich beweisen, dass der Grenzwert limx→0+ sin(1/x nicht existiert.
(Ich habe als Hinweis folgendes bekommen: Ich soll zwei Folgen (a_n)_n und (b_n)_n finden, sodass
limn→+∞ a_n = limn→+∞ b_n = 0, aber limn→+∞ sin(1/a_n)  ist NICHT gleich limn→+∞ sin(1/b_n)
gilt.

Problem/Ansatz:

Warum zeigt dies die Aussage und wie kann ich dass beweisen?

Comments

Z.B. a_n = \( \frac{1}{2πn+\frac{π}{2}} \)

Und

b_n = \( \frac{1}{2πn-\frac{π}{2}} \)

Answer 1

Warum zeigt dies die Aussage

Der Grenzwert \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = b\) existiert genau dann, wenn für jede Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) über \(D_f\setminus\{a\}\) gilt:

        \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\to a \implies (f(a_n))_{n\in\mathbb{N}}\to b\).

Das wird manchmal als Definition von \(\lim\limits_{x\to a} f(x)\) verwendet. Falls nicht, dann wird das als Satz bewiesen.

und wie kann ich dass beweisen?

Suche die \(a_n\) so aus, dass \(\left(\sin\left(\frac{1}{a_n}\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}\) die Nullfolge ist.

Suche die \(b_n\) so aus, dass \(\left(\sin\left(\frac{1}{b_n}\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}\) die konstante Folge mit dem Wert 1 ist.