10/20-Testproblem, 1/Wurzel(n)-Gesetz

Question

Aufgabe:

Es geht um das 10/20 Testproblem. Beide Tests sind Multiple Choice und die Bestehensgrenze liegt bei 60%. Bei welchem Test bestehen Sie eher ?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich das ganze mit dem 1/ wurzel(n) Gesetz begründen kann, aber was genau sagt mir das Intervall aus, dass ich mit dem 1/wurzel(n) berechnen in diesem Kontext aus ? Wie viel Prozent bestehen? Weil das Intervall bei 10 Fragen größer ist, ist da auch die Bestehenschance größer ?

Für 10 Fragen :

6/10 -1/wurzel(10) als untere Grenze und als obere 6/10 + 1/wurzel(10) als obere also bekommen wir ca ein Intervall von [28%, 92%]

Für 20 Fragen:

12/20 -1/wurzel(20) als untere und als obere 12/20-1/wurzel(20) also ein Intervall von [38%, 82%]

Comments

Nicht jedem Leser ist klar, was das 10/20-Testproblem ist.

Es geht um die Wahrscheinlichkeit des Bestehens zweier Tests. Der erste Test besteht aus 10 Fragen mit je zwei Antwortmöglichkeiten, von denen nur eine richtig ist, der zweite Test aus 20 solcher Fragen. Beide Tests werden erfolgreich abgeschlossen, wenn jeweils mindestens 60 % der Fragen richtig beantwortet wurden.

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Ursprung ist das "maternity ward"-Problem aus der Psychologie (Kahneman/Tversky): "On a given day, which hospital is more likely to have 60% or more of its babies being boys?" Es ging dort um Geburtshilfeabteilungen mit 10 oder 20 Geburten pro Tag.

Das Original ist einfacher, weil dort die Wahrscheinlichkeit des Zufallsereignisses "boy" mit 50 % angesetzt werden kann.

Einer der beiden Autoren hat es später zum Wirtschaftsnobelpreis gebracht. Der andere ist vorher gestorben. Der erste erst danach.

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Das bedeutet dann, dass das Intervall mir die Wahrscheinlichkeit angibt, wie wahrscheinlich es ist, mind. 60% der Fragen richtig zu beantworten (und somit zu bestehen)?

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Nein, leider nicht (warum sollte man oberhalb eines Intervalls nicht mehr bestehen?)

Da die Angabe fehlt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, richtig zu antworten, wird wohl unterstellt, dass geraten wird.

Dann ist es eine Binomialverteilung mit n= 10 (bzw. 20), p=0.5 und Anzahl Treffer größer oder gleich 6 bzw. 12.

Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu 37,7% bzw. 25,17%

Man hat natürlich bei weniger Fragen größere Chancen durch Raten zu bestehen.

Dein Intervall ist etwas irreführend und meint etwas anderes. Damit zeigt man, dass mit steigendem n der Anteil der Werte immer enger um den Erwartungswert liegen. Die Ursprungsfrage ist aber nach der Wahrscheinlichkeit (bei welchem Test bestehen Sie eher = wo sind die Chancen größer) , nicht nach einem Intervall.

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Schau mal hier, vielleicht hilft das mit dem Verständnis bzgl. des gemeinten Intervalls weiter…

https://www.dzlm.de/files/uploads/WS-L05-Biehler.pdf

In Kurzform: je größer das n umso näher streuen die Werte um den Erwartungswert des Anteils der richtigen Antworten (wichtig ist Anteil), also um 0,5. Das bedeutet wenn n größer wird, wird die Chance 0,6 zu erreichen immer kleiner.

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Dort ist immerhin die Rede von einem "Prüfling, der nicht gelernt hat" (also 0,5 auf der Abszisse des Diagramms in meiner Antwort).

Answer 1

Bestehenswahrscheinlichkeit des ersten (blau) und zweiten (gelb) Tests in Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig zu beantworten: