Berechne den Flächeninhalt des gefärbten Dreiecks: Trigo im Körper

Question

Aufgabe:

Berechne den Flächeninhalt des gefärbten Dreiecks:

Die Skizze habe ich selbst nachgezeichnet....

Mein Ansatz:

Text:

Frontansicht von vorne:
\( \begin{aligned} d & =\sqrt{4^{2}+12^{2}} \\ d & =\sqrt{16+144} \\ d & =\sqrt{160} \\ d & =\sqrt{16 \cdot 10} \\ d & =4 \cdot \sqrt{10} \\ d & \approx 12,65 \mathrm{~cm} \end{aligned} \)

Flächeninhalt des gefärbten Dreiecks:
\( \begin{aligned} A &= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot h \\ A &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \sqrt{10} \\ A &=18,97 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} \)

Ich habe es auch mit der Vektorrechnung bestätigt:

Text:

\( \begin{aligned} A &= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ A &= \frac{1}{2} \cdot\left|\overrightarrow{CD}\right| \cdot\left|\overrightarrow{CF}\right| \\ A &= \frac{1}{2} \cdot\left|\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right| \cdot\left|\left(\begin{array}{c}0 \\ -12 \\ 4\end{array}\right)\right| \\ A &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-3)^{2}+0^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{0^{2}+(-12)^{2}+4^{2}} \\ A &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{160} \\ A &\approx 18,97 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} \)

Aber in der Musterlösung steht:

für die Höhe d=  Wurzel aus (12²  + 3²) = Wurzel aus(153)......Und dann ist dort die Lösung A= 18,55 cm²
... was mit meiner Lösung nicht übereinstimmt.

Ich denke meine Lösung stimmt und die Musterlösung ist falsch. Aber vielleicht habe ich einen Denkfehler. Ich frage mich, welches die richtige Antwort ist.

Vielen Dank für eure Rückmeldung. VG

Comments

Höhe d=  Wurzel aus (12^2  + 3^2) = Wurzel aus(153)

Wenn man sich das anschaut, ist doch klar, was in der Lösung schiefgelaufen ist. Man darf seinen Fähigkeiten ruhig mehr vertrauen.

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Nein, das ist ganz und gar nicht klar. Es ist vielmehr so:

Wenn e's Skizze stimmt, dann sind auch e's Rechnungen richtig und die Lösung passt nicht zur Aufgabe.

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Ja, da hast du völlig recht. Ich habe es für den Schüler direkt so berechnet. Und wie wir wissen, gibt es im Schulbuch immer wieder Druckfehler.
Ein Kollege hat mich allerdings etwas verunsichert, sodass ich mir nicht mehr ganz sicher war und den Gedankengang gern bestätigen lassen wollte. Vielen Dank!

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Trigo im Körper

Was hat das mit Trigonometrie zu tun?

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a^2+b^2=c^2  → Satz des Pyhtagoras → Trigonometrie

Mit was hat es denn sonst zu tun?

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Mit dem Satz des Pythagoras!

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@esmerkagan: Was man Dir damit sagen möchte: Trigonometrie ist das Zeug mit Sinus, Cosinus, Areacotangens hyperbolicus usw.

Der Satz von Pythagoras ist ca 2000 Jahre älter.

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Die Ergänzung im Titel war eher praktisch gemeint – in vielen Schulbüchern oder im Unterricht werden solche Berechnungen oft unter „Trigo“ zusammengefasst.

Es ging also nur darum, dass man die Aufgabe leichter findet.
Wenn euch der Titel stört oder verwirrend ist – kein Problem, könnt ihr ihn gern ändern. :)

Wollte da wirklich keine Grundsatzdiskussion starten.

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Die Ergänzung im Titel war eher praktisch gemeint – in vielen Schulbüchern oder im Unterricht werden solche Berechnungen oft unter „Trigo“ zusammengefasst.

Generell würde man die Aufgabe, wenn sie so vollständig ist unter dem Satz des Pythagoras einordnen. Wenn es Unteraufgaben gibt, bei denen auch Winkel berechnet werden sollen, dann würde man es unter Trigonometrie einordnen.

Z.B. Berechne den Innenwinkel bei F in dem Grünen Dreieck.

Die richtige Einordnung ist wichtig, weil die Trigonometrie erst später im Unterricht als der Satz/die Satzgruppe des Pythagoras behandelt wird.

Auch gibt das Oberthema einen Hinweis, wie die Aufgabe gelöst werden soll. Findet man diese Aufgabe im Schulbuch unter dem Kapitel der Vektorrechnung/Kreuzprodukt, denn empfiehlt es sich zur Übung auch die Vektorrechnung bzw. das Kreuzprodukt zu benutzen. Dort ergibt sich z.B. der Flächeninhalt aus dem halben Betrag des Kreuzproduktes der aufspannenden Vektoren.

A = 1/2·|FB x FC| = 1/2·|[-3, 12, -4] x [0, 12, -4]| = 1/2·|[0, -12, -36]| = 1/2·√(12^2 + 36^2) = 6·√10 ≈ 18.97

Answer 1

Deine Rechnung ist richtig.

A = 1/2·3·√(12^2 + 4^2) = 6·√10 ≈ 18.97

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Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort.