Goniometrische Gleichung 4cos(3(π-x)+1)+2=0

Question

Aufgabe:

4cos(3(π-x)+1)+2=0

Problem/Ansatz:

Lösungen:

x₁=1/9π + 1/3

x₂=7/9π + 1/3

Alle Lösungen:

x₁=11/9π + 1/3 + 2/3kπ

x₂=7/9π + 1/3 + 2/3kπ

Ich komme bei der Aufgabe nicht auf den Wert des x₁ vielleicht kann jemand das ganze nachvollziehbar beschreiben. Auch verstehe ich nicht, warum sich die allgemeine Lösung des x₁ auf einmal ändert

Answer 1

Setze zunächst α=3(π-x)+1 und berechne α in 4cos(α)+2=0. Setze für α ein und löse nach x auf.

Comments

Damit komme ich aber nur auf 1 Lösung, woraus ergibt sich die 2?

---

Überall, wo die Kurve mit y=cos(z) die Gerade y=-\( \frac{1}{2} \) schneidet, liegt eine Lösung.

---

Aber wie kann ich das rechnerisch bestimmen und nicht grafisch?

---

Kennst du die Definition des Kosinus im Einheitskreis? Nach jeder vollen Umdrehung des Zeigers hat seine Projektion auf die x-Achse den gleichen Wert.

---

Also die erste lösung die ich aus dem Taschenrechner bekomme +2 pi?

---

cos(z)= - \( \frac{1}{2} \) hat eine erste Lösung z= \( \frac{2π}{3} \).

---

Und woraus ergibt sich die 2? +2pi oder 2 pi -z1? Setzte ich dann z einfach gleich mit 3pi-3x+1?

---

Also die erste lösung die ich aus dem Taschenrechner bekomme

Das klingt schon mal ganz schlimm.

Dass die Gleichung cos(w)=-0,5 u. a. die Lösungen w=120° UND w=240° (bzw. w=2π/3 und w= 4π/3) hat, muss man auch ohne Taschenrechner wissen.

---

...w=120° UND w=240°...

Das sollte man besser nicht wissen.

---

Wäre es möglich, dass jemand mir vielleicht mal die Aufgabe komplett vorrechnet? Vielleicht erschließt sich mir dann der korreferierende Lösungsweg

Lg

---

Probier es doch mal selbst, Tipps hast Du genug bekommen. Dann lade Deine Rechnung hoch und wir schauen, was noch fehlt. Auf geht's.

---

Text erkannt:

f)
\( \begin{array}{c} 4 \cos (3(\pi-x)+1)+2=0 \mid-2 \\ 4 \cos (3(\pi-x)+1)=-2 \mid \cdot 4 \\ \cos (3(\pi-x)+1)=-0,5 \mid \cos ^{2}(-1) \\ 3 \pi-3 x+1=\frac{2}{3} \pi|-3 \pi|-1 \\ \left.-3 x=-\frac{7}{3} \pi-1 \right\rvert\,:(-3) \\ x_{1}=\frac{7}{9} \pi+\frac{1}{3} \end{array} \)
2. Löseng for \( -0,5=\cos (2 \pi-2 / 3 \pi=4 / 3 \pi) \)
\( \begin{array}{c} 3 \pi-3 x+1=\frac{4}{3} \pi|-3 \pi|-1 \\ \left.-3 x=-\frac{5}{3} \pi-1 \right\rvert\,:(-3) \\ x_{2}=\frac{5}{9} \pi+\frac{1}{3} \end{array} \)

Ich erhalte einen anderen Wert für x2 und verstehe auch nicht wie ich davon zu 11/9 pi kommen soll

---

Warum folgst Du nicht dem Tipp (hier von Roland und mir unten)? Setze a=... und berechne zunächst a.

Oder suchst keinen einfachen Weg?

Answer 2

Setze \(a=3(\pi-x)+1\), löse \(\cos a=-0.5\).

Eine Skizze klärt, falls nötig, das Problem sofort. \(\cos\) ist eine gerade Funktion, d.h. hat man eine Lösung \(a_1=\frac23\pi\), so ist \(a_2=-a_1\) eine weitere.

Da kein Intervall gegeben ist, hat Deine Gleichung unendlich viele Lösungen, nicht nur zwei. Diese berechnen sich aus den obigen \(a_1,a_2\) mit der Periodizität.

Comments

An Deiner Rechnung (wie gesagt, unnötig aufwendig) sieht man, dass Du den Tipp hier nicht gelesen/verstanden hast. Und nicht nur wg der unnötigen Rechnung, sondern auch wg der zweiten Lösung, um die es Dir ja ging.

---

Nein ehrlich gesagt verstehe ich es wirklich nicht, deshalb habe ich ja nach einer art Musterlösung gefragt gehabt.

---

Dann kannst du ja nachfragen.

Folge der Anleitung, wie weit kommst du?

Answer 3

Sympy gibt mir als Lösungen:

$$\left\{\frac{2 n \pi}{3} + \frac{1}{3} + \frac{\pi}{9}\; \middle|\; n \in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{\frac{2 n \pi}{3} + \frac{1}{3} + \frac{5 \pi}{9}\; \middle|\; n \in \mathbb{Z}\right\}$$

Das 1/9 dürfte ein Tippfehler für 11/9 sein.

Ergänzung:
So kommst du auf die Periode:
$$y = a \cdot \sin [b \cdot (x + c)] + d$$
Periode:
$$P = \frac{2\cdot\pi}{b}$$

in unserem Fall:

$$y = 4 \cdot \cos [3 \cdot (\pi -x)+1] + 2$$

$$P = \frac{2\cdot\pi}{3}$$

weil eine 3 vor dem x steht.

Comments

Da ist doch 1/9 pi

---

Ich meinte es so:

Lösungen:

x₁=11/9π + 1/3   <--- !

x₂=7/9π + 1/3

Alle Lösungen:

x₁=1/9π + 1/3 + 2/3kπ   <--- !

x₂=5/9π + 1/3 + 2/3kπ   <--- !

---

LaTeX: cos ist \cos, Malpunkt ist \cdot.

---

Ich habe die Aufgabe mal der KI gestellt:

ChatGPT hat versagt. Das bekommt 2/9 und 4/9.

Deepseek bekommt 7/9 und 5/9. Also im Prinzip richtig, aber 7/9 könnte man besser als 1/9 schreiben. 7/9 ist schon die nächste Nullstelle.

Answer 4

$$4 \cdot \cos(3 \cdot(\pi - x) + 1) + 2 = 0 \newline \text{Subst. } z = 3 \cdot(\pi - x) + 1 \newline 4 \cdot \cos(z) + 2 = 0 \newline 4 \cdot \cos(z) = -2 \newline \cos(z) = -\frac{1}{2} \newline z = \pm \frac{2}{3} \pi + k \cdot 2 \pi \newline z = \frac{6k \pm 2}{3} \pi \newline \text{Resubst.} \newline 3 \cdot(\pi - x) + 1 = \frac{6k \pm 2}{3} \pi \newline 3 \cdot(\pi - x) = \frac{6k \pm 2}{3} \pi - 1 \newline \pi - x = \frac{6k \pm 2}{9} \pi - \frac{1}{3} \newline - x = \frac{6k - 9 \pm 2}{9} \pi - \frac{1}{3} \newline x = \frac{1}{3} - \frac{6k - 9 \pm 2}{9} \pi$$