Wie lang ist der Streckenzug PQR in der quadratischen Pyramide mit a=7 cm und h=8 cm

Question

Aufgabe:

Von der quadratische Pyramide sind bekannt:

\( a=7,0 \mathrm{~cm} \)

\( h=8,0 \mathrm{~cm} \)

Der Punkt \( P \) halbiert die Seitenkante s. Berechne die Länge des Streckenzuges PQR.

Comments

Ich kann leider die Buchstabenbezeichnungen auf den Kanten und im Text nicht erkennen.

Was ist 7 cm und was 8 cm lang?

Ich nehme an, dass du mit Pythagoras arbeiten sollst. Oder habt ihr Dreiecke ohne rechte Winkel schon behandelt?

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Also a ist die untere kante mit 7 cm H ist die höhe mit 8cm wie meinst du mit ohne rechten winkel? Wir haben Trigonometrie(sinus;cosinus;tangens) Un pyrhagoras. Ich glaub nicht dass es bei der Aufgabe relevant is kann aber schon sein den 1. Und 2. Strahlensatz

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Mit Hilfe der Skizze in der Antwort hier: https://www.mathelounge.de/17190/thema-geometrie-berechne-quadratischen-pyramide-oberflache

kommst du der Reihe nach zu allen Strecken deiner Pyramide, bis du die aufsteigenden Kanten hast.

Zum Schluss legst du am besten die beiden Seitenflächen die PQ und QR enthalten in die Zeichenebene und überlegst dir von dort aus weiter, wie du jetzt auf PQ und QR kommst. Die Winkel der Dreiecke kannst du ja dank Trigonometrie einfach bestimmen.

Answer 1

Hier meine Überlegungen:

a = 7 cm
h = 8 cm

s = √((a/2)^2 + (a/2)^2 + h^2) = √((7/2)^2 + (7/2)^2 + 8^2) = √354/2 = 9.407 cm

COS(α) = (a/2)/s = ((7)/2)/(√354/2) = 7/354·√354

SIN(α) = √(1 - COS(α)^2) = √(1 - (7/354·√354)^2) = √107970/354

PQ = √((s/2)^2 + a^2 - 2·(s/2)·a·COS(α))
PQ = √(((√354/2)/2)^2 + (7)^2 - 2·((√354/2)/2)·(7)·(7/354·√354))
PQ = √746/4 = 6.828 cm

QR = a·SIN(α) = (7)·(√107970/354) = 7/354·√107970 = 6.498 cm

PQ + QR = (√746/4) + (7/354·√107970) = 13.33 cm