Ordne die Brüche der Größe nach

Question

a, b, c, d seien natürliche Zahlen und es gelte: \( \frac{a}{b} \)<\( \frac{c}{d} \). Ordne \( \frac{a}{b} \), \( \frac{c}{d} \), \( \frac{2a+c}{2b+d} \), \( \frac{a+c}{b+d} \), \( \frac{a+2c}{b+2d} \) der Größe nach.

Comments

Nett, wenn man das jeweils als eine Art gewichtetes Mittel betrachtet, sollte sich die Reihenfolge ohne Rechnung erschließen…steht auch schon fast richtig da :-)

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Schöne Aufgabe, ich verzichte daher auf die Angabe der Lösung, damit noch viele Spaß daran haben können.

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Eine Erweiterung meiner Aufgabe:

a, b, c, d  seien natürliche Zahlen und es gelte: \( \frac{a}{b} \)<\( \frac{c}{d} \). Ordne \( \frac{ka+c}{kb+d} \), \( \frac{a+kc}{b+kd} \) für k=1, ..., n der Größe nach.

Answer 1

Ein leicht zu beweisender Satz ist:

Mit natürlichen Zahlen a, b, c, d gilt: Wenn  \( \frac{a}{b} \)<\( \frac{c}{d} \), dann \( \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d} \).

(Wer zu dem "leicht zu beweisen" eine Rückfrage hat, möge sich melden.)

Unter Verwendung dieses Satzes folgt aus \( \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} \) auch \( \frac{a}{b}< \frac{a+(a+c)}{b+(b+d)} < \frac{a+c}{b+d} \),

also \( \frac{a}{b}< \frac{2a+c}{2b+d} < \frac{a+c}{b+d} \).

Diese Idee kann man induktiv fortsetzen zu \( \frac{a}{b}< \frac{ka+c}{kb+d}  \).