Aloha :)
In der Funktion \(z(x)=1+\cos x\) beschreibt \(x\) den horizontalen Abstand eines Punktes vom Ursprung. Zur Rotation des Graphen um die z-Achse ersetzen wir \(x\) durch den Abstand \(r=\sqrt{x^2+y^2}\), um die y-Dimension zu berücksichtigen:$$z(r)=1+\cos r\quad,\quad r\in(0;\pi)$$Damit formulieren wir den Ortsvektor \(\vec r\) in Zylinderkoordinaten, der alle Punkte des Volumens \(V\) abtastet:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\ r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in(0;\pi)\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in[0;1+\cos r]$$
Durch den Übergang von kartesischen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten wird das Volumenelemnt \(dV\) verzerrt:$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Daraus folgt als Integral für das gesuchte Volumen:$$V=\int\limits_{V}dV=\int\limits_{r=0}^\pi\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{z=0}^{1+\cos r}r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{r=0}^\pi\left(\int\limits_{z=0}^{1+\cos r}r\,dz\right)dr$$
Zu beachten ist hier, dass die obere Grenze des z-Intervalls die Integrationsvariable \(r\) enthält. Daher müssen wir zuerst über \(dz\) bei festgehaltenem \(r\) integrieren und anschließend erst die Integration über \(dr\) durchführen.
$$V=\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\cdot\int\limits_{r=0}^\pi\left[rz\right]_{z=0}^{1+\cos r}dr=2\pi\int\limits_{r=0}^\pi\underbrace{r}_{=u}\cdot\underbrace{\left(1+\cos r\right)}_{=v'}\,dr$$$$\phantom V=2\pi\left(\left[\underbrace{r}_{=u}\cdot\underbrace{(r+\sin r)}_{=v}\right]_{r=0}^\pi-\int\limits_{r=0}^\pi\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\left(r+\sin r\right)}_{=v}\,dr\right)$$$$\phantom V=2\pi\left(\left[r^2+r\sin r\right]_{r=0}^\pi-\left[\frac{r^2}{2}-\cos r\right]_{r=0}^\pi\right)=2\pi\left(\pi^2-\left(\frac{\pi^2}{2}+2\right)\right)$$$$\phantom V=\pi^3-4\pi$$
