Zeigen Sie, dass f genau eine Nullstelle im Intervall und höchstens eine negative Nullstelle besitzt

Question

Aufgabe:

Sei \( n \in \mathbb{N} \) und
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=x^{n+2}-x^{2}-1 \)

Zeigen Sie, dass \( f \) genau eine Nullstelle im Intervall \( \left[1,1+\frac{1}{n}\right] \) und höchstens eine negative Nullstelle besitzt.

Problem/Ansatz:

Leider kein Plan, wie gehe ich sowas an?

Comments

Der Ansatz für den ersten Teil wäre zu zeigen, daß die Funktion auf dem Intervall monoton ist und die Funktionswerte an den Rändern verschiedenes Vorzeichen haben. Für den zweiten macht man dann eine Fallunterscheidung für gerades und ungerades n.

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Mein erster Schritt wäre, wenn ich keinen Plan habe, eine Skizze für verschiedene n zu machen bzw. machen zu lassen.

Für gerade n ist die Funktion offensichtlich achsensymmetrisch, mit einem Hoch- und zwei Tiefpunkten unterhalb der x-Achse und damit exakt 2 Nullstellen.

Für ungerade n gibt es einen Hoch- und einen Tiefpunkt unterhalb der x-Achse und damit nur genau eine Nullstelle.

Weiterhin gilt der Nullstellensatz von Bolzano. Auf diesen wurde schon hingewiesen, wenn auch nicht benannt.

PS: Eine Skizze ist kein Beweis. Sie gibt dir aber ein Gefühl, was du rechnerisch tun kannst.

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Wie berechne ich f(x) am oberen Intervall-Ende?

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Eine Abschätzung nach unten reicht.

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\( f\left(1+\frac{1}{n}\right) = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+2}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}-1 \)

Bei solchen Ausdrücken nimmt man gerne zum Abschätzen die Bernoulli-Ungleichung, die sich aus der Binomischen Reihe ergibt. Man will ja nur zeigen, dass der Ausdruck positiv ist, solange das gezeigt wird, ist die Genauigkeit der Abschätzung unwichtig. Es gilt nun nach Bernoulli (das sind die ersten beiden Summanden der Binomischen Reihe, wenn es genauer sein soll, nimmt man einfach noch weitere Summanden dazu):

\( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \geq 1+n \cdot \frac{1}{n}=2 \)

Also:
\( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+2}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} \geq 2 \cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} \)

Setze dies in \( f \) ein:
\( f\left(1+\frac{1}{n}\right) \geq 2\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}-1=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}-1>0 \)

Und damit ist gezeigt, daß es einen Vorzeichenwechsel gibt.

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Danke, das hat mir sehr geholfen! Den ersten Teil habe ich nun, für die negativ Nullstelle hatte ich bisher, das es für ungerades n keine geben kann und für gerade n gibt es auf jeden Fall eine wegen der Symmetrie zwischen - 1 und -1 - 1\n. Jetzt fehlt mir nur noch, warum es zwischen -1 und 0 keine geben kann. Hast Du hier auch einen Tip für mich?

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Da gäbe es verschiedene Wege, aber ein einfacher wäre zu zeigen, das f(x) ≤ -1 gilt für Ι x l ≤ 1.

Da kannst Du dann auch direkt wieder Abschätzungen üben (ist leichter als eben).

Answer 1

genau eine Nullstelle im Intervall \( \left[1,1+\frac{1}{n}\right] \)

\(f\) ist stetig. Berechne \(f(1)\) und \(f\left(1+\frac{1}{n}\right)\) und verwende den Zwischenwertsatz um zu zeigen dass \(f\) mindestens eine Nullstelle im Intervall \(\left[1,1+\frac{1}{n}\right]\) hat.

\(f\) ist differenzierbar. Zeige, dass \(f\) im Intervall \(\left[1,1+\frac{1}{n}\right]\) streng monoton steigend ist.

höchstens eine negative Nullstelle

Bestimme \(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)\) und Extrempunkte von \(f\).