Da dies alles zur Unterhaltung der Zuschauer dienen soll, wohl bekomm’s:
Gegeben:
\(8^x + 2^{3x} = 28 \cdot 4^x + 4^{x+1} \)
Akt I: Homogenisierung der Basen
Alle Basen müssen demütig zu Primzahlpotenzen reduziert werden.
- \( 8 = 2^3 \) → \( 8^x = (2^3)^x = 2^{3x} \)
- \( 4 = 2^2 \) → \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \)
- \( 4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 2^{2x} \cdot 2^2 = 2^{2x+2} \)
Die Gleichung verwandelt sich in:
\( 2^{3x} + 2^{3x} = 28 \cdot 2^{2x} + 2^{2x+2} \)
Doppelter Auftritt von \( 2^{3x} \)! Wir verehren die Symmetrie:
\( 2 \cdot 2^{3x} = 28 \cdot 2^{2x} + 2^{2x+2} \)
Akt II: Substitution
Wir setzen \( y = 2^x \).
- \( y > 0 \) (da \( 2^x > 0 \) für alle reellen \( x \))
- \( 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2 \)
- \( 2^{3x} = (2^x)^3 = y^3 \)
- \( 2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4y^2 \)
Die Gleichung wird nun zu:
\( 2y^3 = 28y^2 + 4y^2 \)
Zusammenfassung der rechtmäßigen \( y^2 \)-Terme:
\( 2y^3 = 32y^2 \)
Akt III: Nullpunkt-Transmutation
Alles auf eine Seite!
\( 2y^3 - 32y^2 = 0 \)
Herausheben des Faktors \( y^2 \), der niemals null ist (da \( y > 0 \)):
\( y^2 (2y - 32) = 0 \)
Da \( y^2 \neq 0 \), folgt mit unerbittlicher Logik:
\( 2y - 32 = 0 \)
Akt IV: Lösung der linearen Gleichung
\( 2y = 32 \)
Division durch 2 – ein kühner Schritt!
\( y = 16 \)
Akt V: Rück-Substitution
Erinnerung: \( y = 2^x \), also:
\( 2^x = 16 \)
Da 16 eine gesegnete Potenz von 2 ist (\( 16 = 2^4 \)):
\( 2^x = 2^4 \)
Akt VI: Exponentenvergleich
Da die Basis gleich ist und größer als 0 sowie ungleich 1, dürfen wir die Exponenten gleichsetzen – so verkündet es das Dogma der Exponentialgleichungen.
\(x = 4 \)
Akt VII: Inquisition der Probe
Einsetzen von \( x = 4 \) in die ursprüngliche Gleichung:
- Linke Seite: \( 8^4 + 2^{3 \cdot 4} = 4096 + 2^{12} = 4096 + 4096 = 8192 \)
- Rechte Seite: \( 28 \cdot 4^4 + 4^{4+1} = 28 \cdot 256 + 4^5 = 7168 + 1024 = 8192 \)
Gleichheit! Der Teufel der Ungültigkeit ist gebannt.
Finale
Die einzige, wahre, erhabene, in den Annalen der Mathematik verklärte Lösung ist:
\( \boxed{x=4} \)
Q.E.D.
