Explizite Darstellung für Folge gesucht

Question

Aufgabe:

Ich suche für diese rekursive Folge eine explizite Darstellung.

Ein Folgeglied ist gegeben mit:

\( {x}_{n+1}={x}_{n}+1/(3 \cdot {x}_{n}^{2}) \)

\( {x}_{0}=4 \)

Leider ist hier weder eine arithmetische noch eine geometrische Folge zu erkennen.

Hat jemand sowas schon mal gesehen oder einen Lösungshinweis?

Comments

Laut unseren KI-Helfern gibt es keine explizite Darstellung.

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Wo kommt sie her? Ist ja offensichtlich divergent…

Gehören um x_n+1 vielleicht Klammern?

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Welche Helfer hast Du denn verwendet?

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Deepseek und Gemini Pro.

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Wir können alle Glieder dieser Folge nach unten mit 4 abschätzen. Damit kannst du berechnen, wie viele Summanden du höchstens bräuchtest, um eine beliebige Partialsumme zu erreichen.

Die Folgeglieder erhöhen sich höchstens um 1/48. Damit könnten wir dann auch eine obere Abschätzung vornehmen.

Ist das ein reales Problem oder ist das eine Aufgabe, die ihr bekommen habt? Wenn ja, in welchem Fach, was sind die Hilfsmittel und wie lautet die exakte Aufgabenstellung?

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Ich glaube an einen Schreibfehler (Aufgabe falsch abgeschrieben? Klammern? n statt x[n] ?),

da bereits das 5. Glied ein extrem langer Bruch aus

einer 186 stelligen & einer 185 stelligen Zahl ist!
Auch Helfer wie Mathematica findet keine explizite Funktion dafür.

Vielleicht könnte man eine hypergeometrische Funktion erstellen, aber das ist für die meisten keine

"einfache explizite Darstellung".

Grüße

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Die Folge beschreibt z.B. das Newtonverfahren angewendet auf \( f(x) = \textrm{e}^{-x^3} \) mit dem Startwert \( x_0 = 4 \).

Wird wirklich explizit nach einer expliziten Darstellung gesuchst? Oder versuchst du etwas anderes über diese Folge herauszufinden und denkst, dass eine explizite Darstellung dafür nützlich wäre?

Answer 1

Hi,

da ich mit allen mir bekannten Hilfsmitteln & Tools (incl. Mathematica) keine exakte explizite Funktion fand,

habe ich mal per nichtlinearer Regression (NLR) eine Näherungsformel f(n) erstellt und sie mit den auf 33 Stellen genau berechneten Sollwerten x[n] der Rekursion verglichen:

Natürlich kann man diese Näherungsformel immer weiter verfeinern.

Grüße