Explizite Darstellung für Folge gesucht

Question

Aufgabe:

Ich suche für diese rekursive Folge eine explizite Darstellung.

Ein Folgeglied ist gegeben mit:

\( {x}_{n+1}={x}_{n}+1/(3 \cdot {x}_{n}^{2}) \)

\( {x}_{0}=4 \)

Leider ist hier weder eine arithmetische noch eine geometrische Folge zu erkennen.

Hat jemand sowas schon mal gesehen oder einen Lösungshinweis?

Comments

Laut unseren KI-Helfern gibt es keine explizite Darstellung.

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Wo kommt sie her? Ist ja offensichtlich divergent…

Gehören um x_n+1 vielleicht Klammern?

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Welche Helfer hast Du denn verwendet?

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Deepseek und Gemini Pro.

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Wir können alle Glieder dieser Folge nach unten mit 4 abschätzen. Damit kannst du berechnen, wie viele Summanden du höchstens bräuchtest, um eine beliebige Partialsumme zu erreichen.

Die Folgeglieder erhöhen sich höchstens um 1/48. Damit könnten wir dann auch eine obere Abschätzung vornehmen.

Ist das ein reales Problem oder ist das eine Aufgabe, die ihr bekommen habt? Wenn ja, in welchem Fach, was sind die Hilfsmittel und wie lautet die exakte Aufgabenstellung?

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Ich glaube an einen Schreibfehler (Aufgabe falsch abgeschrieben? Klammern? n statt x[n] ?),

da bereits das 5. Glied ein extrem langer Bruch aus

einer 186 stelligen & einer 185 stelligen Zahl ist!
Auch Helfer wie Mathematica findet keine explizite Funktion dafür.

Vielleicht könnte man eine hypergeometrische Funktion erstellen, aber das ist für die meisten keine

"einfache explizite Darstellung".

Grüße

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Die Folge beschreibt z.B. das Newtonverfahren angewendet auf \( f(x) = \textrm{e}^{-x^3} \) mit dem Startwert \( x_0 = 4 \).

Wird wirklich explizit nach einer expliziten Darstellung gesuchst? Oder versuchst du etwas anderes über diese Folge herauszufinden und denkst, dass eine explizite Darstellung dafür nützlich wäre?

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Danke für die zahlreichen Antworten.

Ich hätte nicht gedacht, dass es so kompliziert wird.

Das mit dem Newtonverfahren für die e-Funktion sieht irgendwie ausbaufähig aus. Wie kommst Du darauf und wie könnte daraus eine Folge entwickelt werden?

Die explizite Darstellung ist genau aus den genannten Gründen nützlich: extrem grosse Dezimalbrüche. Da wäre eine einfache Darstellung natürlich sehr gut !!

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Setze die Funktion:

\( f(x)=e^{-x^{3}} \)

in die Formel für das Newton-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen ein:

\( x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \)

Das ist zwar interessant, wird Dir aber nicht helfen, f hat offensichtlich keine Nullstellen. Das Verfahren konvergiert also nicht aber wir wußten ja schon, dass die Folge divergiert.

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Sorry, ich kann da keine Ähnlichkeit zur eigentlichen Aufgabenstellung erkennen.

Ich möchte auch gar keine Nullstelle bestimmen, sondern eine Folge in eine explizite Form bringen.

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Du warst doch derjenige, der den Ansatz ausbaufähig fand :-)

Setzt f ein, das Resultat ist nicht ähnlich sondern identisch zu Deiner Folge.

Ich sagte ja schon, dass es Dir aber nicht helfen wird. Deine Suche nach einer expliziten Darstellung ist vergeblich, Du wirst Dich damit abfinden müssen…

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Es wurde ja auch nur gesagt, dass deine Folge der gleichen Folge entspricht, die entsteht, wenn man das Newton-Verfahren auf die oben genannte Funktion anwendet.

Auf gestellte Fragen

Wo kommt sie her?

Gehören um xn+1 vielleicht Klammern?

Ist das ein reales Problem oder ist das eine Aufgabe, die ihr bekommen habt? Wenn ja, in welchem Fach, was sind die Hilfsmittel und wie lautet die exakte Aufgabenstellung?

Wird wirklich explizit nach einer expliziten Darstellung gesuchst? Oder versuchst du etwas anderes über diese Folge herauszufinden und denkst, dass eine explizite Darstellung dafür nützlich wäre?

in den Kommentaren bist du bisher aber kaum eingegangen, was erwartest du also?

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Hier ein etwas komplizierteres Beispiel für eine rekursive Folge, die sich explizit darstellen läßt:

x_n = 2x_n-1 + 3ⁿ für \( n \geq 1 \) ; Startwert: x₀ = 1

Das Problem bei Deiner Folge ist der quadratische Term im Nenner, daher ist der Ausdruck nicht-linear.

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Tut mir leid, dass ich nicht auf jeden Kommentar einzeln eingegangen bin.

1. Die Folge oben ist korrekt geschrieben, also keine Klammern etc. vergessen.

2. Das mit dem Newton-Verfahren sieht erstmal gut aus. Nur das Minus-Zeichen in der Mitte stört.

3. Weshalb soll man keine Folgen mit quadratischem Term im Nenner explizit darstellen können. Selbst wenn die Folge divergiert, sollte es für endliche Werte von n Lösungen geben. Ich habe mir ein kleines Python Programm dafür geschrieben.

4. Das Problem ist von mir frei erfunden, also kein Thema aus dem Lehrbuch.

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4. Das Problem ist von mir frei erfunden, also kein Thema aus dem Lehrbuch.

Das ist doch eine sehr wichtige Info...

3. Weshalb soll man keine Folgen mit quadratischem Term im Nenner explizit darstellen können.

Das wurde nicht gesagt. Aber solche Terme können eine explizite Formel sofort um einiges komplizierter machen, sofern überhaupt eine existiert.

2. Das mit dem Newton-Verfahren sieht erstmal gut aus. Nur das Minus-Zeichen in der Mitte stört.

Warum stört das Minus-Zeichen? Es ist irgendwie völlig unklar, was du willst. Und wieso sieht das Newton-Verfahren gut aus? Es ist eben auch keine explizite Formel...

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Ich verstehe es so: Er sucht zwei Funktionen \(f,g:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{Z}\) mit \(x_n=\frac{f(n)}{g(n)}\) für alle \(n\).

Das ist ja schon beantwortet. Der Rest dient nur zur Unterhaltung.

Answer 1

Hi,

da ich mit allen mir bekannten Hilfsmitteln & Tools (incl. Mathematica) keine exakte explizite Funktion fand,

habe ich mal per nichtlinearer Regression (NLR) eine Näherungsformel f(n) erstellt und sie mit den auf 33 Stellen genau berechneten Sollwerten x[n] der Rekursion verglichen:

Natürlich kann man diese Näherungsformel immer weiter verfeinern.

Grüße