Grüss dich.
Ich mache Dir den Beweis gerne einmal vor und empfehle Dir diesen sorgfältig zu studieren.
Sei ein ε > 0 fixiert. Wegen a(n) —> 0, ist die Folge (a(n)) insbesondere beschränkt. Wir finden also ein C > 0 derart, dass |a(n)| ≤ C für alle n und eine natürliche Zahl N mit |a(n)| ≤ ε/2 für alle n ≥ N. Da bekanntlich auch 1/n —> 0, gibt es auch eine weitere natürliche Zahl M derart, so dass C(N-1) / n ≤ ε/2 für alle n ≥ M gilt.
Dann folgt mithilfe der Dreiecksungleichung für alle n ≥ T := max{N,M}
|b(n)| = 1/n |Σ (j = 1,…,n) a(j)|
≤ 1/n Σ (j = 1,…,n) |a(j)|
= 1/n Σ (j = 1,…,N-1) |a(j)| + 1/n Σ (j = N,…,n) |a(j)|
≤ C(N-1) / n + ε/2 (n-N+1) / n ≤ ε/2 + ε/2 = ε.
Damit haben wir gezeigt, dass für alle ε > 0 eine natürliche Zahl T wie oben existiert, so dass |b_n|≤ ε, also äquivalent b_n —> 0 und sind fertig.
Ich hoffe, das ist nun klar! :)
Liebe Grüße