Beweisen Sie folgende Aussage über Nullfolgen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie folgende Aussage: Wenn \( \left(a_{n}\right) \) eine Nullfolge ist, so ist auch die Folge ( \( b_{n} \) ) mit

\( b_{n}=\frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^{n} a_{j}, \quad n \in \mathbb{N}, \)
eine Nullfolge.

Problem/Ansatz:

Comments

Du mußt über die Definition des Grenzwertes gehen.

Answer 1

Hi, ich bin selbst im Studium verwickelt aber gern gebe ich dir ein paar Gedanken mit die mir durch den Kopf gehen wenn ich deine Fragestellung lese.

Eine Nullfolge hat ja, wie der Name auch schon sagt, die 0 als Grenzwert.

Somit laufen alle Nullfolgen, die mir a_n versehen sind gegen 0, nun ist es egal wenn du diese aufzählst. Also a_n1+a_n2+...

Jede dieser Folgen strebt gegen deny Gleichen Grenzwert. Wenn nun bn als Folge von 1/n*(Summe von a_i) ist.

Dann hast du eine 1/n *(0+0+0+0)

Was am Ende wieder 0 ist.

Oder du zeigst es mit dem lim n gegen unendlich.

Ich hoffe ich werde hier nicht gesteinigt von anderen aktiveren Mitgliedern bezüglich meiner Schreibweise.

Ich will die Transformers nicht auf die Erde rufen, in den Filmen hab ich genug gesehen. *Zwincker* Smiley.

Comments

In Deiner ‚intuitiven’ Logik stecken leider einige Fehler.

So z.B. sind die einzelnen Summanden keine Folgen und i.A. nicht Null. Dann vertauschst Du implizit die Reihenfolge der Grenzwerte, was nicht korrekt ist.

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Ja, ist okay, ich nehme.

Ich nehme, dass einfach hin.

Beweise sind gar nicht mein Ding.

Es schien "okay" zu sein aber man kann immer eines besseren belehrt werden.

In diesem Fall zb wüsste ich nicht warum genau deine Antwort richtig ist, ich hinterfrage dies auch nicht.

Ich las mir auch eben den unteren Kommentar durch, ich ahne, dass ich von dem was du geschrieben hast ich dort wiederfinde.

Zb :"sind die einzelnen Summanden keine Folgen"

So sehe ich mir die Zerlegung an, wo der letzte Summand als N+1 geschrieben wird, erkenne ich auch, dass dort eine Abschätzung genutzt wird.

Auf sowas komme ich nicht allein, weil Mathe als Nebenfach für mich die Hölle wohl ist.

Rechnen kann ich aber super. :D

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Von dem, was Du (unvollständig) andeutest, machst Du wohl etwas in der Art:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^{n} a_{j} \neq \frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^{n}\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{j}\right)=\frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^{n} 0 \).

Nach dem ≠ Zeichen läuft es etwas aus dem Ruder :-)

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Genau eigentlich dachte ich, da a_n als Nullfolge mit lim n gegen unendlich gegen 0 Strebt und man damit halt einfach als Grenzwert 0 erhält und die Aufsummierung von 0/n = 0 ist.

Im Unteren Kommentar sehe ich ja eine Abschätzung, sowas kennt man ? Lernt man auswendig ? oder ?

Wenn solch ein Aufgabentyp einem Bekannt ist, ist es ja ein bekanntes Muster und ich lerne und arbeite am besten mit Mustern und Mustererkennung. Nicht das optimalste für ein Nebenfach wie Mathe wo eine Struktur mit Logik angegangen werden muss.

Aber alles erlernbar. :)

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Die Grundidee des Beweises ist die Definition des Grenzwertes zu nutzen. Also das für ein beliebiges ε>0 ein N₁ existiert, so daß la_n - al < ε/2 ist für alle n ≥ N₁.

Da der Grenzwert a=0 ist folgt also, dass ab einen bestimmten Wert N₁ alle Folgenglieder im Betrag kleiner ε/2 werden. Damit kann man dann die Summen von diesem N₁ bis n leicht abschätzen.

Jetzt muß man sich nur noch um die Summe der ersten Folgenglieder bis N₁ kümmern, die noch nicht kleiner als ε sind. Das sind aber nur endlich viele mit einem daher endlichen und festen Summenwert, nennen wir ihn K. K/n strebt gegen Null für n gegen ∞ (K ist eine Konstante unabhängig von n!), wird also auch kleiner als ε/2 für genügend großes n, sagen wir n ≥ N₂. Damit ist diese Summe auch verarztet.

Damit kann man nun wieder die Definition des Grenzwertes nutzen, diesmal für die Folge b_n und erhält, dass für beliebiges ε>0 lb_n - 0l < ε wird für n ≥ N =  max{N₁, N₂}, sprich der Grenzwert der Folge b_n ist auch 0.

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Genau eigentlich dachte ich, da a_n als Nullfolge mit lim n gegen unendlich gegen 0 Strebt und man damit halt einfach als Grenzwert 0 erhält und die Aufsummierung von 0/n = 0 ist.

Typischer Denkfehler beim Umgang mit Grenzwerten. Der Grenzwert \(\lim_{n\to 0}n\cdot\frac{1}{n}\) ist auch nicht 0, auch wenn \(n\) alleine gegen 0 geht.

Weiterhin werden hier keine Grenzwerte aufsummiert, sondern die einzelnen Folgenglieder, die eben nicht alle 0 sind.

Schließlich ist die harmonische Reihe als "Grenzwert" der Partialsummen

\(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{j=1}^n\frac{1}{j}\)

ein Paradebeispiel dafür, dass eine Reihe nicht konvergieren muss, auch wenn \((a_j)_{j\in\mathbb{N}}=\frac{1}{j}\) eine Nullfolge ist. Hier liegt nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung vor.

Hier muss also schon eine saubere Abschätzung/Argumentation erfolgen.

Answer 2

Wenn \(a_n\) eine Nullfolge ist, dann gibt es ein N, ab dem für alle n≥N gilt: \(a_n≤ε\).

\( \frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^{n} a_{j}\) lässt sich zerlegen in

\( \frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^{N} a_{j}\) +  \( \frac{1}{n} \sum \limits_{j=N+1}^{n} a_{j}\), wobei für den zweiten Summanden die Abschätzung \( \frac{1}{n} \sum \limits_{j=N+1}^{n} a_{j}   \le    \frac{1}{n} \cdot(n-N)\cdot ε =(1-\frac{N}{n})\cdot ε\) gilt.

Bestimme nun \( \lim\limits_{n\to\infty} (\frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^{N} a_{j}+(1-\frac{N}{n})\cdot ε)\) und denke daran, dass ε sehr klein sein kann.

Comments

Besser \(|a_n|≤ε\) am Anfang.

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Danke, die Zerlegung ist der Schlüssel.

Sollte ich dann statt der Limes Betrachtung am Ende nicht konsequenterweise auch für die Folge b_n die ε Betrachtung anstellen?

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Der lim, der da steht ist doch fur b_n?

lul