Binomialverteilung und Normalapproximation

Question

Aufgabe:

Ein Extinktionsexperiment wird geplant, bei dem die Versuchstiere eine einmal erlernte Aufgabe wieder verlernen sollen. Dazu sollen zuerst mindestens 100 Tiere diese Handlung erlernen. Aus früheren Versuchen weiß man, dass dies nur bei \( 65 \% \) der Versuchstiere gelingt. Wenn man also zu Beginn der Verlernphase 100 Tiere haben will, welche die Aufgabe gelernt haben, dann muss man deutlich mehr als diese 100 Tiere trainieren. Verwenden Sie für alle Aufgabenteile die Normalapproximation.

(a) (2P) Angenommen, es werden 154 Tiere trainiert. Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Tiere, welche die Aufgabe erlernen.

(b) (3P) Angenommen, es werden 154 Tiere trainiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 100 von ihnen die Aufgabe lernen?

(c) (4P) Finden Sie durch Ausprobieren eine Anzahl \( n \) von Tieren, so dass zu \( 99 \% \) sicher ist, dass mindestens 100 Tiere die Aufgabe gelernt haben, wenn \( n \) Tiere trainiert worden sind. Begründen Sie, dass Ihr \( n \) tatsächlich groß genug ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme bei B und C ,hab in den Bildern mein Ansatz

b) WSK für mindestens 100 "Lerner"

\(\displaystyle p(x \geq 100)=1-\phi\left(\frac{100-0,5-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot(1-p)}}\right) \)

c) Gesuchtes \( n \), sodass \( P(x \geq 100) \geq 0,99 \)

Comments

Verwenden Sie für alle Aufgabenteile die Normalapproximation.

Wie geht das für den Aufgabenteil a)?

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A) 0.65*154 = 100.1

B hab ich glaube ich geschafft, aber c ist sehr tricky, mein Ansatz geht nicht weiter

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Schön, dass hier mal wieder herumgepfuscht wird und man die Ansätze des FS entfernt, weil ein Mod das nicht lesen kann!

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Ich würde das wie folgt angehen

b) P(X ≥ 100) = 1 - NORMAL((99.5 - 100.1)/√35.035) ≈ 0.5404

c) P(X ≥ 100) = 1 - NORMAL((99.5 - n·0.65)/√(n·0.65·(1 - 0.65))) ≈ 0.99 → n ≈ 175.7

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So, ich hoffe, dass hiermit die ursprüngliche Version wieder hergestellt ist. Ich bitte darum, bei allen zukünftigen Änderungen durch wen auch immer deutlich sinnerhaltender vorzugehen!

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A) 0.65*154 = 100.1

B hab ich glaube ich geschafft, aber c ist sehr tricky, mein Ansatz geht nicht weiter

Text erkannt:

Mathe Aufgaben 2
Mathe stratos
Math_Bio_II_SS23_VL6_hand
Mathe Aulgabeit \( \dagger \)
b)
\( \Phi\left(\frac{100-154 \cdot 0,65}{\sqrt{154 \cdot 0,65 \cdot(1-065)}}\right)=\Phi-\underline{-0,016885} \)
L) Tabelle
\( \Rightarrow \)
c) \( P\left(x^{2}-100\right)=0.99 \) \( \qquad \)
\( \begin{array}{l} 1-\Phi\left(\frac{100-1 \cdot 0,65}{\sqrt{154 \cdot 0,65 \cdot 11-0,65})}\right)=0,95 \\ 1-0.3 \xi=\Phi\left(\frac{100-1 \cdot 0.55}{\sqrt{154 \cdot 0.55 \cdot 14-0.551}}\right) \\ 0.01=\Phi\left(\frac{100-1 \cdot 0.65}{\sqrt{154 \cdot 0.65 \cdot(1 \cdot 967)}}\right) \\ -n \cdot 0.65=\sqrt{154 \cdot 0.05 \cdot(1-0.165)} \cdot(\text { peal })-100 \\ n=154-165 \cdot \sqrt{154 \cdot 0,65 \cdot(-0,65)} \cdot \text { If }(\text { pian }) \rightarrow \text { Trabeak } 594 \\ 1=154-(1.65) \cdot \sqrt{1540.65 \cdot(1-0.05)} \cdot \underline{-21326} \\ 1 \approx 177 \text { Tiere } \end{array} \)
Galaxy A54 5G

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Zum Vergleich die Werte mit der Binomialverteilung:

b) P(X≥100) = 1- P(X≤99) = 1- 0,4563 = 0,5437

c) P(X≥100) ≥0,99

Mein Programm liefert den Wert n= 177

Mit exakt 99% wird es schwer. An n= 177 liegt man über 99%

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Die Wahrscheinlichkeit \(p=0,65\), dass ein Versuchstier die Fähigkeit erlernt, ist aus früheren Versuchen bekannt. Wenn \(n=154\) Tiere trainiert werden ist der Erwartungswert$$\mu=n\cdot p=154\cdot0,65=100,1$$Wir erwarten also, dass \(100\) von \(154\) trainierten Tieren die Fähigkeit erlenen.

zu b) Hier brauchen wir die Standardabweichung der Normalerteilung:$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{154\cdot0,65\cdot0,35}=\sqrt{35,035}$$Mit Hilfe der Standardnormalverteilung \(\Phi\) ermitteln wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X\ge99,5)\), dass mindestens \(100\) Tiere die Fähigkeit erlernen, wie folgt:$$P(X\ge99,5)=1-P(X<99,5)=1-\Phi\left(\frac{99,5-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi(-0,101368)$$$$\phantom{P(X\ge99,5)}=1-0,459629=0,540371\approx54\%$$

zu c) Diesen Aufgabenteil sollst du durch Ausprobieren lösen. Du sollst die Anzahl \(N\) der nötigen Tiere bestimmen, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass davon mindestens \(100\) Tiere die Fähigkeit erlernen, bei mindestens \(99\%\) liegt. Formal lautet diese Forderung:$$P(X\ge99,5)=1-\phi\left(\frac{99,5-N\cdot0,65}{\sqrt{N\cdot 0,65\cdot0,35}}\right)\stackrel{!}{\ge}0,99$$Ich komme bei \(N=176\) Tieren auf eine Wahrscheinlichkeit von \(99,07\%\).

PS: Hier wurde berücksichtigt, dass die Normalverteilung stetig ist. Ohne Stetigkeitskorrektur musst du anstatt \(99,5\) den Wert \(100\) eintragen. Das führt dann zu leicht unterschiedlichen Ergebnissen.

Comments

Wie bekommst du denn N heraus? Also wie löse ich das so auf, dass ich auf N komme? Wir sollen kein nsolve nutzen,sondern händisch rechnen

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Diesen Aufgabenteil sollst du durch Ausprobieren lösen.

@Tschaka

Das steht zwar so da, lässt sich aber auch "richtig" lösen.

Laut Tabelle der Standardnormalverteilung gilt Φ(2,33) = 0,99 und demzufolge Φ(-2,33) = 0,01. Die Gleichung $$-2,33=\frac{99,5-N\cdot0,65}{\sqrt{N\cdot 0,65\cdot0,35}}$$ ist doch lösbar. Für dich nicht?

Wie bekommst du denn N heraus? Also wie löse ich das so auf, dass ich auf N komme? Wir sollen kein nsolve nutzen,sondern händisch rechnen

@Anonym 0.1

Multipliziere $$-2,33=\frac{99,5-N\cdot0,65}{\sqrt{N\cdot 0,65\cdot0,35}}$$ mit dem Nenner und quadriere die so erhaltene Gleichung.

Was du erhältst ist eine quadratische Gleichung, die sich tatsächlich händisch lösen lässt.

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Also gebe ich für N einfach random zahlen ein?

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Finden Sie durch Ausprobieren eine Anzahl

Ihr solltet euch vor allem an die Aufgabenstellung halten. Ansonsten kann man sich ja auch überlegen, was \(x\) in \(\Phi(x)\) sein müsste, damit \(1-\Phi(x)\geq 0,99\) gilt. Da hilft dann die Tabelle.

"Random" nicht. Man sollte beim Ausprobieren schon strukturiert vorgehen.

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Verstehe nicht ganz

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Was verstehst du nicht? @abakus hat es doch quasi schon vorgemacht...

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Wenn du wirklich der Aufgabe folgst und "ausprobierst":

Bei b) hast du ermittelt, dass bei 154 Tieren leider nur eine 54%-ige Wahrscheinlichkeit besteht, dass mindesten 100 einen Lernerfolg haben. Für eine sogar 99%-ige Erforgswahrscheinlichkeit musst du also mehr als 154 dumme Rindviecher trainieren.

Führe also deine Rechnung von b) mit Anzahlen wie 160, 170 (und wenn nötig auch noch 180) durch. Sobald du über 0,99 kommst weißt du, dass es zu viele sind und kannst die Suche verfeinern, indem du z.B. 165 oder 175 probierst usw.

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Du sollst das \(N\) ja eigentlich durch Ausprobieren finden. Wiederhole also die Rechnung von Teil (b) mit \(n=160\), \(n=170\) usw. und taste dich an den gesuchten Wert heran.

Wenn du etwas rechnen möchtest, kannst du dir auch überlegen, dass$$\Phi\left(\frac{99,5-N\cdot0,65}{\sqrt{N\cdot0,65\cdot0,35}}\right)<0,01$$gelten muss. Dann kannst du den Wert \(\Phi^{-1}(0,01)\approx-2,326348\) ermitteln (Internet, Tabelle, guter Taschenrechner). Dann weißt du, dass das Argument der \(\Phi\)-funktion etwa \(-2,326348\) sein sollte:$$\frac{99,5-N\cdot0,65}{\sqrt{N\cdot0,65\cdot0,35}}=-2,326348$$

Diese Gleichung solltest du dann nach \(N\) auflösen.