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Aufgabe:

Untersuchen sie die Quadratische Funktion f(x)=-1/2x^2+3x-5/2 (Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Graph für - 1 ≤ x ≤ 8).


Problem/Ansatz:

Wie gehe ich jetzt bei der Aufgabe rechnerisch richtig vor und wie schreibe ich das richtig auf mit Ansatz und Hinreichende Bedingung?

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Es gibt hier nicht den einen richtigen Weg. Fang mal an, lade Deine Rechnung hoch, dann schauen wir, was noch zu verbessern wäre. Musterlösungen zu solchen Aufgaben gibt es zigtausende im Internet.

3 Antworten

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Sicherlich wurden auch Beispiele im Unterricht behandelt. Es gibt Bedingungen, die schreibt man hin und dann rechnet man:

1. Symmetrie: Ja/nein, weil... oder man zeigt \(f(-x)=f(x)\), \(f(-x)=-f(x)\) oder weder noch.

2. Nullstellen: \(f(x)=0\), also \(-\frac{1}{2}x^2+3x-\frac{5}{2}=0\) ... Passendes Verfahren anwenden.

usw.

Frage bei konkreten Problemen nach.

Avatar von 21 k
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Ich gebe immer als Erstes den Tipp, sich eine Skizze mithilfe einer Wertetabelle zu machen.

blob.png

Dann ist die entscheidende Frage. Kannst du die Nullstellen und den Scheitelpunkt auch rechnerisch ermitteln? Grafisch ablesen solltest du es schon aus der Zeichnung können. Für Lösungen von quadratischen Gleichungen solltest du unter anderem die pq- oder gar abc-Formel kennen. Für den Scheitelpunkt gibt es sogar ganz viele verschiedene Ansätze.

Avatar von 493 k 🚀
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Hier eine Lösung:

Zur Symmetrie: Eine Funktion f ist entweder symmetrisch oder punktsymmetrisch ; f heisst symmetrisch, falls f(x) = f(-x) (z.B. f(x) = x^2), f für alle x und f heisst punktsymmetrisch, falls -f(x) = f(-x) für alle x (z.B. f(x) = x^3).

In dem Falle gilt f(-x) = -1/2 (-x)^2 + 3(-x) - 5/2

= -1/2 x^2 - 3x - 5/2 ≠ f(x) und -f(x) = 1/2 x^2 - 3x + 5/2 ≠ 1/2 x^2 - 3x - 5/2 = f(-x) für mindestens ein x.

D.h. f ist weder symmetrisch noch punktsymmetrisch.

Zu den Nullstellen: Löse dafür die Gleichung f(x) = 0 äquivalent -1/2 x^2 + 3x -5/2 = 0, in dem du erstmal beide Seiten mit der Zahl -2 multiplizierst (um den Leitterm zu normieren) und dann die äquivalente Gleichung x^2 - 6x + 5 = 0 erhältst.

Mithilfe der quadratischen Lösungsformel erhälts du dann die Lösungen x = 1 oder x = 5.

Extrema: Voerst bemerke, dass f eine Funktion der Klasse C^1 ist, denn f ist eine Polynomfunktion, d.h. f ist insbesondere überall differenzierbar, wodurch die Ableitung df überall in den reellen Zahlen existiert.

Mit den Ableitungsgesetzten erhalte das Differenzial df(x) = -x + 3 für alle x.

Die möglichen Extremstellen von f sind die Nullstellen von df, also lösen wir df(x) = 0 und erhalten mit einfacher Äqzivalenzumformung die möglichen Extremstelle x = 3.

Nun überprüfen wir mit der Ableitung von df die Art der Extremstelle (Maximum oder Minimum).

Da d(df(x)) = -1 < 0 für alle x, gilt auch d(df(3)) = -1 < 0, woraus wir schließen, dass bei x = 3 das Maximum von f ist.

Also ist (3, f(3)) der einzige Extrempunkt und in dem Fall ein Maximum.

Zum Wendepunkt: Da d(df(x)) ≠ 0 für alle x, hat f keine Wendepunkte, denn die Wendestellen sind die Nullstellen der zweiten Ableitung, welche keine Nullstellen hat.

Die Einschränkung von f auf [-1; 8] ämdert nichts an der Untersuchung von f auf den ganzen reellen Zahlen.

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Der erste Satz ist grandios falsch. Und wird dann auch weniger Zeilen später widerlegt.

Eine Funktion f ist entweder symmetrisch oder punktsymmetrisch

Oder gar nichts. Nur "symmetrisch" ist zu unpräzise.

Klasse C^1

Entspricht nicht dem Niveau des FS.

Differenzial

Ebenso.

d(df(x))

Ich bezweifle auch, dass der FS mit dieser Schreibweise etwas anfangen kann.

Auf die Unübersichtlichkeit sowie schwere Lesbarkeit des Antwort muss man auch nicht weiter eingehen.

Stimmt. Beim ersten Satz fehlt die Option, dass f keine dieser beiden Eigenschaften hat.

Zur Sache mit der C^1 Eigenschaft habe ich ja darauffolgend auch erklärt, was genau das ungefähr bedeutet. Den Begriff Differenzial kann man allein durch den bekannten Begriff des Differenzierens sich ganz einfach herleiten. Auch die Schreibweise d(df(x)) ist doch einfach erkennbar, wenn man df verstanden hat. Und wo bitte ist meine Antwort unlesbar? Unnötige Hetze wieder einmal!

was genau das ungefähr bedeutet

Ahso. Das habe ich jetzt ungefähr genau verstanden.

Du vergisst immer wieder, dass du hier im Wesentlichen mit Schülern arbeitest und nicht mit Studenten. Der Großteil der Schüler weiß nicht einmal, was \(x\in\mathbb{R}\) bedeutet (die wenigsten Lehrer legen da Wert drauf, leider). Du kannst daher nicht einfach erwarten, dass sie irgendeine Uni-Notation verstehen oder sich irgendwelche Notationen, die für dich einfach sind, herleiten können.

Ich finde die Antwort schwer lesbar, das ist aber auch mein persönliches Empfinden. Hätte ich vielleicht so schreiben sollen, sorry.

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