Hier eine Lösung:
Zur Symmetrie: Eine Funktion f ist entweder symmetrisch oder punktsymmetrisch ; f heisst symmetrisch, falls f(x) = f(-x) (z.B. f(x) = x^2), f für alle x und f heisst punktsymmetrisch, falls -f(x) = f(-x) für alle x (z.B. f(x) = x^3).
In dem Falle gilt f(-x) = -1/2 (-x)^2 + 3(-x) - 5/2
= -1/2 x^2 - 3x - 5/2 ≠ f(x) und -f(x) = 1/2 x^2 - 3x + 5/2 ≠ 1/2 x^2 - 3x - 5/2 = f(-x) für mindestens ein x.
D.h. f ist weder symmetrisch noch punktsymmetrisch.
Zu den Nullstellen: Löse dafür die Gleichung f(x) = 0 äquivalent -1/2 x^2 + 3x -5/2 = 0, in dem du erstmal beide Seiten mit der Zahl -2 multiplizierst (um den Leitterm zu normieren) und dann die äquivalente Gleichung x^2 - 6x + 5 = 0 erhältst.
Mithilfe der quadratischen Lösungsformel erhälts du dann die Lösungen x = 1 oder x = 5.
Extrema: Voerst bemerke, dass f eine Funktion der Klasse C^1 ist, denn f ist eine Polynomfunktion, d.h. f ist insbesondere überall differenzierbar, wodurch die Ableitung df überall in den reellen Zahlen existiert.
Mit den Ableitungsgesetzten erhalte das Differenzial df(x) = -x + 3 für alle x.
Die möglichen Extremstellen von f sind die Nullstellen von df, also lösen wir df(x) = 0 und erhalten mit einfacher Äqzivalenzumformung die möglichen Extremstelle x = 3.
Nun überprüfen wir mit der Ableitung von df die Art der Extremstelle (Maximum oder Minimum).
Da d(df(x)) = -1 < 0 für alle x, gilt auch d(df(3)) = -1 < 0, woraus wir schließen, dass bei x = 3 das Maximum von f ist.
Also ist (3, f(3)) der einzige Extrempunkt und in dem Fall ein Maximum.
Zum Wendepunkt: Da d(df(x)) ≠ 0 für alle x, hat f keine Wendepunkte, denn die Wendestellen sind die Nullstellen der zweiten Ableitung, welche keine Nullstellen hat.
Die Einschränkung von f auf [-1; 8] ämdert nichts an der Untersuchung von f auf den ganzen reellen Zahlen.
