Primzahlen: Wie groß ist dann die Summe A + B + C?

Question

Aufgabe:

Die Summe von fünf verschiedenen Primzahlen beträgt 100,

ihr Produkt ist eine sechsstellige natürliche Zahl in der Form ABCABC.

Wie groß ist dann die Summe A + B + C?

Problem/Ansatz:

Kann mir da jemand helfen, ich komme einfach nicht weiter, die Nutzung eines Taschenrechners oder sonst ein Hilfsmittel ist nicht gestattet

Comments

Benutze ABCABC = 1000*ABC + ABC = 1001*ABC und mach von da weiter

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Wie kommst du auf 1000?

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ABCABC = ABC000 + ABC

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Du könntest überlegen, weshalb 2 dazu gehören muss. Dann fehlen nur noch vier Primzahlen.

Wie bist Du auf die Schlagworte "komplexe konjugiert" gekommen?

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Das ist zu viel verraten.lches sic

Die Faktorisierung von 1001 liefert 3 Primfaktoren mit der entsprechenden Summe, und was bis 100 noch fehlt ist seltsamerweise eine Zahl der Form 6k+3...

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Du könntest überlegen, weshalb 2 dazu gehören muss. Dann fehlen nur noch vier Primzahlen.

Es gibt so viele Primzahlen, könnte man nicht durch viele verschiede Primzahlen auf die Summe 100 kommen

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Hast du schon die Primfaktorzerlegung von 1001 gemacht?

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@Jukius: Es gibt nicht besonders viele Primzahlen < 100.

Die Antwort zur Aufgabe ist 8. Es gibt nur eine Lösung.

Gelöst werden soll

\( \left\{\begin{array}{rcl} a+b+c+d+e &=& 100 \\\\ a \, b \, c \, d \, e \mod 1001 &=& 0 \end{array}\right. \)

für

\( \{a, \; b, \; c, \; d, \; e\} \subset \mathbb{P} \)    (Menge aller Primzahlen)

[spoiler]

Die Aufgabe soll mit guten Gründen ohne (elektronische) Hilfsmittel gelöst werden. Nur dann lernt man etwas. Die Hinweise, die user26605, Gast az0815, abakus und Karl60 gegeben haben, sind zielführend, aber Du bist noch nicht auf sie eingegangen und hast auch Rückfragen nicht beantwortet.

Wenn elektronisch, dann beispielsweise so:

(Die Ungleichungen im Input sortieren die Summanden in aufsteigender Reihenfolge, und vermeiden Lösungen, die nur eine Permutation der ersten Lösung sind. Wenn man sie weglässt, würden 5 Fakultät = 120 Lösungen angezeigt. Die Ungleichungen reduzieren die Rechenzeit zudem um etwa den Faktor 40.)

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Wenn ich mich recht erinnere, gehört die bereits erwähnte Beziehung $$\textrm{ABCABC}=\textrm{ABC}\cdot 1001$$zu den Erkenntnissen der Grundschulmathematik.Im Zusammenhang damit wird auch, meist vorher, irgendwas mit der Zerlegung $$1001=7\cdot 11\cdot 13$$ gemacht. Damit kann man dann starten.

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Für eine Aufgabe, deren Sinn es ist, mal selbst was auszuprobieren, sind das nun reichlich Hilfen für jemanden, der - wie so viele hier - sagt "ich komme nicht weiter", dabei hat er anscheinend noch nicht mal angefangen.

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Ja, das ist wohl richtig. Ich habe allerdings nur zwei schon mitgeteilteTipps zusammengefasst und mit der Schulmathematik in Verbindung gebracht. Dabei belasse ich es jetzt auch.

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Wenn ich mich recht erinnere, gehört die bereits erwähnte Beziehung $$\textrm{ABCABC}=\textrm{ABC}\cdot 1001$$zu den Erkenntnissen der Grundschulmathematik

Ich weiß zwar nicht auf was für eine Grundschule du warst aber da sehe ich zum ersten Mal.

Sind zwischen den ABCABC ein unsichtbares mal Zeichen A*B*C*A*B*C oder ist da kein Rechenzeichen?

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Das sind die einzelnen Ziffern.

Hunderter, Zehner, Einer etc. kennst du bestimmt.

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Mit echten Ziffern wird es vielleicht klarer?

Beispiel:

333.333 = 333.000 + 333

= 333 * 1000 + 333

= 333 * (1000 + 1)

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Naja. In der Grundschule unterteilt man eine Zahl nur in die Ziffern und trägt sie in die Stellentafel ein. Dabei werden die Ziffern noch nicht zusammengefasst.

Aber vielleicht ist das wie folgt verständlich

123123
= 123000 + 123
= 1000 * 123 + 1 * 123
= (1000 + 1) * 123
= 1001 * 123

Warum 1001 den Faktor 7 oder 11 enthält, kann man mithilfe der Teilbarkeitsregeln leicht erkennen. Diese gehören aber nicht in die Grundschule, sondern in die Mittelstufe. Weiterhin lernen auch nicht alle Schüler die Teilbarkeitsregel durch 7 und durch 11. Gute Lehrer erwähnen sie vielleicht mal. Und überlassen es dem Schüler diese selber zu recherchieren.

(Mein Kommentar hat sich mit dem von willyengland überschnitten.)

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Diese gehören aber nicht in die Grundschule, sondern in die Mittelstufe.

Das ist nicht richtig. Die Teilbarkeitsregeln werden für gewöhnlich rudimentär in der Grundschule gelehrt (durch 2, durch 5, durch 10) und sonst in der Unterstufe der jeweiligen weiterführenden Schule. Das sind die Klassen 5 und 6. Die Mittelstufe (wenn man diese Unterteilung denn vornimmt) beginnt dann erst mit der Klasse 7.

Answer 1

schon jetzt ist klar, dass ich für diese Antwort gescholten werde. Ich antworte dennoch, was hier der Grundschule zugeordnet wird, möchte ich so nicht stehen lassen.

Fassen wir zusammen:

Die "2" ist einer der gesuchten Primzahlen.

Im Produkt der fünf Primzahlen steckt der Faktor 1001, das und die Primfaktorenzerlegung wurde in den Kommentaren schon hilfreich erwähnt.

Jetzt lässt sich die fünfte Primzahl errechnen. Jukius, melde dich bitte, entweder weil du es verstanden hast oder nicht klar kommst.

Ich bin auf weiteren Input gespannt.

Comments

Für Grundschüler kann man es noch detaillierter erklären.

Die Summe von fünf verschiedenen Primzahlen beträgt 100,

Bis auf die 2 gibt es nur ungerade Primzahlen. Daher müssen wir schonmal 4 ungerade Primzahlen in den 5 dabei haben. Die Summe von 4 ungeraden Zahlen ist aber gerade und da 100 ebenfalls gerade ist fehlt noch ein gerader Summand. Also muss 2 eine der Primzahlen sein.

Wenn man somit erst die Summe 2 + 7 + 11 + 13 = 33 hat, fehlt noch 67 bis 100.

Damit wären alle Primzahlen gefunden.

Bilden wir also das Produkt

2 * 7 * 11 * 13 * 67 = 134134

Damit ist die gesuchte Summe 1 + 3 + 4 = 8.

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2 * 7 * 11 * 13 * 67 = 134134

Das hast du ohne Taschenrechner gemacht bzw. die ganze Aufgabe?

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Mehrere bemühen sich zu helfen, nur einem ist wieder mal die eigene Selbstdarstellung wichtiger als der Lernerfolg des FS.

@Jukius: Arbeite doch mal die Tipps ganz oben durch, und schaue mal im Internet unter "Dezimalsystem" nach.

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Anstatt sich hier mit dem Posten eigener Lösungen profilieren zu wollen solltet ihr lieber auf das zugrundeliegende Problem des Fragestelers, das in seinen Rückfragen deutlich zum Ausdruck kommt, eingehen.

@j :
ABCABC ist kein Produkt, sondern eine sechsstellige Zahl mit der Ziffernfolge A B C A B C, wie z.B achthundertsechsundzwanzigtausendachthundertsechsundzwanzig = 826826.

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2 * 7 * 11 * 13 * 67 = 134134

Da 2 * 67 = 134 und 7 * 11 * 13 = 1001 ist, kann man das Produkt recht leicht im Kopf bestimmen.

Das schaffst du auch ganz ohne Taschenrechner.