Mit ein wenig aufwendiger Rechnerei kann man zeigen, dass für Werte \(a\), \(b\) und \(c\) für die Seitenlänge \(x\) des Dreiecks gilt: $$x=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+2\sqrt{3}A_{abc}}\qquad (\ast)$$Dabei ist \(A_{abc}\) der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seitenlängen \(a\), \(b\) und \(c\), den man beispielsweise mit der Heron-Formel $$A_{abc}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=\frac{a+b+c}{2}$$berechnen kann. Mit dieser Formel lässt sich \((\ast)\) beweisen, indem man die Gleichung $$A_{ABP}+A_{BCP}+A_{CAP}=\frac{\sqrt{3}}{4}x$$löst. Das stellt eine Zerlegung des gleichseitigen Dreiecks in die drei Dreiecke dar, die man erhält, wenn man jeweils die Eckpunkte mit \(P\) verbindet. Diese Rechnung überlasse ich dem interessierten Leser.
Mit Rolands Werten ergibt sich damit genau die in den Kommentaren genannte Lösung (man beachte, dass das Dreieck \(A_{9,12,15}\) ein pythagoreisches Dreieck ist und man daher die Formel von Heron nicht braucht) $$x=\sqrt{\frac{9^2+12^2+15^2}{2}+2\cdot 54\sqrt{3}}=\sqrt{15^2+108\sqrt{3}}=3\sqrt{25+12\sqrt{3}}.$$Mit den Werten, die döschwo angegeben hat, ergeben sich \(x=30\) bzw. \(x=8\).
