Berechnen Sie, wie hoch das Wasser nach einer Minute im Behälter steht.

Question

Aufgabe:

In einen auf der Spitze stehenden kegelförmigen Behälter mit dem Radius 10 cm und der Höhe 30 cm werden pro Sekunde \( 20 \mathrm{~cm}^{3} \) Wasser eingefüllt. Das Volumen \( V(t) \) des Wassers (in \( \mathrm{cm}^{3} \) ) und die Höhe \( \mathrm{h}(\mathrm{t}) \) des Wasserspiegels im Behälter (in cm ) hängen also von der Zeit t (in s ) ab .
a) Ermitteln Sie den Funktionsterm \( h(t) \). Berechnen Sie, wie hoch das Wasser nach einer Minute im Behälter steht.
b) Berechnen Sie, wie schnell der Wasserspiegel nach einer Minute steigt.

Problem/Ansatz:

ich finde keinen Ansatz.

Answer 1

b) Berechnen Sie, wie schnell der Wasserspiegel nach einer Minute steigt.

Bestimme \(h'((60)\).

Answer 2

Der Radius ist

\( \displaystyle r = \frac{h}{30}\cdot 10 \)

und das Volumen ist

\( \displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)

und es gilt V / t = 20

[r in cm, h in cm, V in cm³, t in s].

Daraus folgt:

\( \displaystyle V = \frac{1}{27}\pi h^3 = 20 \; t \)

\( \displaystyle \Longrightarrow \quad  h(t)  = \sqrt[3]{540 \frac{t}{\pi}} \)

Answer 3

Bei a) wurde dir schon die Funktion h(t) richtig hregeleitet. 60 Einsetzen schaffst du vermutlich.

Schaffst du es auch für b) die Ableitung von h(t) zu bestimmen und dort 60 einzusetzen?

Hier noch meine Näherungslösungen

a) h(60) ≈ 21.77 cm

b) h'(60) ≈ 0.1209 cm/s