Berechnen Sie, wie hoch das Wasser nach einer Minute im Behälter steht.

Question

Aufgabe:

In einen auf der Spitze stehenden kegelförmigen Behälter mit dem Radius 10 cm und der Höhe 30 cm werden pro Sekunde \( 20 \mathrm{~cm}^{3} \) Wasser eingefüllt. Das Volumen \( V(t) \) des Wassers (in \( \mathrm{cm}^{3} \) ) und die Höhe \( \mathrm{h}(\mathrm{t}) \) des Wasserspiegels im Behälter (in cm ) hängen also von der Zeit t (in s ) ab .
a) Ermitteln Sie den Funktionsterm \( h(t) \). Berechnen Sie, wie hoch das Wasser nach einer Minute im Behälter steht.
b) Berechnen Sie, wie schnell der Wasserspiegel nach einer Minute steigt.

Problem/Ansatz:

ich finde keinen Ansatz.

Answer 1

Der Radius ist

\( \displaystyle r = \frac{h}{30}\cdot 10 \)

und das Volumen ist

\( \displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)

und es gilt V / t = 20

[r in cm, h in cm, V in cm³, t in s].

Daraus folgt:

\( \displaystyle V = \frac{1}{27}\pi h^3 = 20 \; t \)

\( \displaystyle \Longrightarrow \quad  h(t)  = \sqrt[3]{540 \frac{t}{\pi}} \)

Comments

Danke, also ich kann das Volumen des gesamten Behälters mit Radius 10 und Höhe 20 cm ausrechnen, aber wo kommt auf einmal das r und das h her?

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(Die Höhe ist 30, nicht 20.)

Für das Volumen eines Kegels gilt die angegebene zweite Formel in meiner Antwort, mit den unabhängigen Variablen r und h.

Sie gilt auch, wenn der Kegel auf der Spitze steht.

Und sie gilt sowohl bei h = 30 ("Volumen des gesamten Behälters") als auch bei h ≠ 30 (Behälter nicht ganz voll, aber Wasser immer noch kegelförmig) wobei dann r < 10, nämlich so wie in der ersten Formel in meiner Antwort aufgeschrieben. Wenn die erste Formel unklar ist, setze dort mal h = 0, h = 15 und h = 30 ein und betrachte den Radius.

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Du stellst Dir also einen kleinen Kegel im großen vor? Dann wäre r zuerst 0 und wenn voll dann 10? Und warum ist V(t) dann 20t? V ist doch jetzt von r und h abhängig

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einen kleinen Kegel im großen

Ja, mit identischer Spitze. Aber weniger hoch, weil nicht ganz aufgefüllt.

Das Volumen des kegelförmigen eingefüllten Wassers ist (zweitens) auch gleich 20 t weil pro Sekunde 20 Kubikcentimeter eingefüllt werden.

Answer 2

b) Berechnen Sie, wie schnell der Wasserspiegel nach einer Minute steigt.

Bestimme \(h'((60)\).

Answer 3

Bei a) wurde dir schon die Funktion h(t) richtig hregeleitet. 60 Einsetzen schaffst du vermutlich.

Schaffst du es auch für b) die Ableitung von h(t) zu bestimmen und dort 60 einzusetzen?

Hier noch meine Näherungslösungen

a) h(60) ≈ 21.77 cm

b) h'(60) ≈ 0.1209 cm/s