Koordinaten berechnen: Auf der Geraden g mit y=4 liegen Eckpunkte Cn(x|4) von gleichschenklig-rechtwinkligen...

Question

Auf der Geraden g mit y=4 liegen die Eckpunkte Cn (x|4) von gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken ABnCn mit der Basis [ACn]. Es gilt: A(0|0) a) Berechne die Koordinaten der Mittelpunkte Mn {Anm.: Habe ich schon berechnet: (0,5x|2) } der Basis [ACn] und die Koordinaten der Eckpunkte Bn jeweils in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Cn. So jetzt zu meiner Frage, diese auch bitte möglichst ausführlich beantworten :-) Wie berechnet man die Koordinaten Bn, ich komme partout nicht drauf

Answer 1

Sei ABC ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck rechtem Winkel bei B und sei M der Mittelpunkt der Hypotenuse AC.

Dann ist die Länge der Höhe BM über der Hypotenuse gleich der halben Hypotenusenlänge, es gilt also: 

| BM | = | AM |

Außerdem gilt für die Länge jeder der beiden Katheten AB und CB nach Pythagoras:

| AB | ² = | CB | ² = | AM | ² + | BM | ² = 2 | AM | ²

Für die nachfolgende Berechnung ist dabei nur

| AB | ² = 2 | AM | ²

von Interesse.

 

Im Folgenden drücke ich unter Anwendung das Satzes des Pythagoras die zu betrachtenden Seitenlängen durch die Koordinaten des gesuchten Punktes B ( x_b | y_b ) aus.

Weiter mit TeX:

$$\left| \overline { AB }  \right| ^{ 2 }=2\left| \overline { AM }  \right| ^{ 2 }$$$$\left| \overline { BM }  \right| =\left| \overline { AM }  \right|$$mit:$$\left| \overline { AB }  \right| ^{ 2 }={ x }_{ b }^{ 2 }+{ y }_{ b }^{ 2 }$$$$\left| \overline { AM }  \right| =\sqrt { { \left( \frac { x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+4 }$$$$\left| \overline { BM }  \right| =\sqrt { { \left( { x }_{ b }-\frac { x }{ 2 }  \right) ^{ 2 } }+{ \left( { y }_{ b }-2 \right) ^{ 2 } } }$$also:$${ x }_{ b }^{ 2 }+{ y }_{ b }^{ 2 }=2{ \left( { \left( \frac { x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+4 \right)  }$$$$\sqrt { { \left( { x }_{ b }-\frac { x }{ 2 }  \right) ^{ 2 } }+{ \left( { y }_{ b }-2 \right) ^{ 2 } } } =\sqrt { { \left( \frac { x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+4 }$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }^{ 2 }+{ y }_{ b }^{ 2 }=2{ \left( \frac { x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+8=\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8$$$${ \left( { x }_{ b }-\frac { x }{ 2 }  \right) ^{ 2 } }+{ \left( { y }_{ b }-2 \right) ^{ 2 } }={ \left( \frac { x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+4$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$${ { { x }_{ b }^{ 2 } } }-{ { x }_{ b }x+{ \left( \frac { x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } }+{ { y }_{ b }^{ 2 }-4{ y }_{ b } }+4={ \left( \frac { x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+4$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$${ { { x }_{ b }^{ 2 } } }-{ { x }_{ b }x+ }{ { y }_{ b }^{ 2 }-4{ y }_{ b } }=0$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$$\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 }\pm x{ \sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } } + }{ { y }_{ b }^{ 2 }-4{ y }_{ b } }=0$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$$\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8\pm { \sqrt { \frac { { x }^{ 4 } }{ 2 } +8{ x }^{ 2 }-{ { x }^{ 2 }y }_{ b }^{ 2 } }  }{ -4{ y }_{ b } }=0$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$$\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8{ -4{ y }_{ b } }=\pm { \sqrt { \frac { { x }^{ 4 } }{ 2 } +8{ x }^{ 2 }-{ { x }^{ 2 }y }_{ b }^{ 2 } }  }$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$${ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8{ -4{ y }_{ b } } \right)  }^{ 2 }={ \frac { { x }^{ 4 } }{ 2 } +8{ x }^{ 2 }-{ { x }^{ 2 }{ y }_{ b }^{ 2 } } }$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$${ \frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +8{ x }^{ 2 }+64-4{ y }_{ b }\left( { x }^{ 2 }+16 \right) +16{ y }_{ b }^{ 2 } }={ \frac { { x }^{ 4 } }{ 2 } +8{ x }^{ 2 }-{ { x }^{ 2 }{ y }_{ b }^{ 2 } } }$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$${ \left( { x }^{ 2 }+16 \right) { { y }_{ b }^{ 2 } }-4{ y }_{ b }\left( { x }^{ 2 }+16 \right)  }={ \frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } -64 }$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$${ { { y }_{ b }^{ 2 } }-4{ y }_{ b } }={ \frac { { x }^{ 4 }-256 }{ 4\left( { x }^{ 2 }+16 \right)  }  }$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$${ { { y }_{ b }^{ 2 } }-4{ y }_{ b } }+4={ \frac { { x }^{ 4 }-256 }{ 4\left( { x }^{ 2 }+16 \right)  } +4 }$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$${ { { { \left( { y }_{ b }-2 \right)  }^{ 2 } } } }={ \frac { { x }^{ 4 }-256+16{ x }^{ 2 }+256 }{ 4\left( { x }^{ 2 }+16 \right)  }  }=\frac { { x }^{ 2 }\left( { x }^{ 2 }+16 \right)  }{ 4\left( { x }^{ 2 }+16 \right)  } =\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 }$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$${ { { { \left( { y }_{ b }-2 \right)  } } } }=\pm \frac { { x } }{ 2 }$$$$\Leftrightarrow$$$${ x }_{ b }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ y }_{ b }^{ 2 } }$$$${ { { { { y }_{ b } } } } }=2\pm \frac { { x } }{ 2 } =\frac { 4\pm x }{ 2 } \Rightarrow { y }_{ b1 }=\frac { 4+x }{ 2 } ,{ y }_{ b2 }=\frac { 4-x }{ 2 }$$$$\Rightarrow$$$$y_{ b1 }=\frac { 4+x }{ 2 } \wedge { x }_{ b1 }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ { \left( \frac { 4+x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } }$$$$\vee$$$${ y }_{ b2 }=\frac { 4-x }{ 2 } \wedge { x }_{ b2 }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-{ { \left( \frac { 4-x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } }$$$$\Leftrightarrow$$$$y_{ b1 }=\frac { 4+x }{ 2 } \wedge { x }_{ b1 }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } -2x-4 }$$$$\vee$$$${ y }_{ b2 }=\frac { 4-x }{ 2 } \wedge { x }_{ b2 }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +8-\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +2x-4 }$$$$\Leftrightarrow$$$$y_{ b1 }=\frac { 4+x }{ 2 } \wedge { x }_{ b1 }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } -2x+4 }$$$$\vee$$$${ y }_{ b2 }=\frac { 4-x }{ 2 } \wedge { x }_{ b2 }=\sqrt { \frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +2x+4 }$$$$\Leftrightarrow$$$$y_{ b1 }=\frac { 4+x }{ 2 } \wedge { x }_{ b1 }=\sqrt { \frac { 1 }{ 4 } \left( { x }^{ 2 }-8x+16 \right)  }$$$$\vee$$$${ y }_{ b2 }=\frac { 4-x }{ 2 } \wedge { x }_{ b2 }=\sqrt { \frac { 1 }{ 4 } \left( { x }^{ 2 }+8x+16 \right)  }$$$$\Leftrightarrow$$$$y_{ b1 }=\frac { 4+x }{ 2 } \wedge { x }_{ b1 }=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { { (x-4) }^{ 2 } }$$$$\vee$$$${ y }_{ b2 }=\frac { 4-x }{ 2 } \wedge { x }_{ b2 }=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { { (x+4) }^{ 2 } }$$$$\Leftrightarrow$$$$y_{ b1 }=\frac { 4+x }{ 2 } \wedge { x }_{ b1 }=\frac { x-4 }{ 2 }$$$$\vee$$$${ y }_{ b2 }=\frac { 4-x }{ 2 } \wedge { x }_{ b2 }=\frac { x+4 }{ 2 }$$

Also:

Mit den Punkten A ( 0 | 0 ) und C ( x | 4 ) bilden die Punkte

B₁ = ( ( x - 4 ) / 2 | ( x + 4 ) / 2 )

und

B₂ = ( ( x + 4 ) / 2 | ( 4 - x ) / 2 )

jeweils ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.

 

Beispiele:

Sei x = 4

dann bilden die Punkte

B₁ ( ( x - 4 ) / 2 | ( x + 4 ) / 2 ) = ( 0 | 4 )

und

B₂ ( ( x + 4 ) / 2 | ( 4 - x ) / 2 ) = ( 4 | 0 )

mit den Punkten A ( 0 | 0 ) und C ( 4 | 4 )

jeweils ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.

 

Sei x = 8

dann bilden die Punkte

B₁ ( ( x - 4 ) / 2 | ( x + 4 ) / 2 ) = ( 2 | 6 )

und

B₂ ( ( x + 4 ) / 2 | ( 4 - x ) / 2 ) = ( 6 | - 2 )

mit den Punkten A ( 0 | 0 ) und C ( 4 | 4 )

jeweils ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.

 

(Bei so einem einfachen Ergebnis stellt sich natürlich die Frage, ob man dieses nicht auf einem anderen Wege mit etwas weniger Rechnerei hätte finden können. Ich hab hier halt einfach mal losgerechnet ohne mir derartige Gedanken zu machen, weil ich ja auch nicht ahnen konnte, das das Ergebnis so einfach ausfallen würde ... )