Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten? Lagrange

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf F(K,L)=KL³

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK= 18 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL= 16. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 950 ME produziert werden soll.

Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Problem/Ansatz:

Mein einziger Ansatz wäre:

Hauptfunktion - 18K+16L³

Nebenfunktion - KL³ - 950

Und die Lagrange -Fkt in dem Fall (?)= 18K+16L³ - Lagrange-Zeichen (KL³  - 950)

Bin mir sehr unsicher - Kann mir jemand helfen? Vielen Dank im Voraus!

Comments

Lagrange ist nicht zwingend nötig, du könntest auch einfach eine Variable mit der NB eliminieren und hast dann eine Funktion mit einer Variablen.

Answer 1

Hauptfunktion - 18K+16L^3

Nebenfunktion - KL^3 - 950

Das sind erstmal nur Terme, keine Funktionen.

Warum sollte man den Preis für eine Einheit Arbeit \(L\) in der "Hauptfunktion" hoch drei nehmen? Du bezahlst für eine Einheit und nicht für eine Einheit³.

Schreibe die Nebenbedingung vernünftig als Gleichung auf und löse sie nach \(K\) auf und setze das in die korrigierte Hauptfunktion ein. Bestimmte dann das Minimum davon.

Answer 2

Z.B. ohne Lagrange

F(K, L) = K·L^3 = 950 --> K = 950/L^3

Das nun in die Kostenfunktion einsetzen, ableiten und null setzen.

y = 18·K + 16·L
y = 18·(950/L^3) + 16·L
y = 17100/L^3 + 16·L
y' = 16 - 51300/L^4 = 0 --> L = 51300^(1/4)/2 ≈ 7.525

K = 950/(51300^(1/4)/2)^3 = 4/27·51300^(1/4) ≈ 2.230

y = 18·(4/27·51300^(1/4)) + 16·(51300^(1/4)/2) = 32/3·51300^(1/4) ≈ 160.5 GE

Kontrolle z.B. mit Wolfram Alpha

Answer 3

Lösung mit Langrange-Funktion, x=K,y=L,s statt \(\lambda\)

$$L(x,y,s)=18x+16y+s(xy^3-950)$$

Setze die partiellen Ableitungen nach x,y,s gleich 0:

$$(1)\quad 18+sy^3=0\qquad (2) \quad 16+3sxy^2\qquad (3) \quad xy^3-950=0$$

Eine Standard-Technik zur Eliminierung von s liefert:

$$3x \cdot (1)-y \cdot (2)=54x-16y=0 \Rightarrow x=\frac{16}{54}y$$

Setzt man dies in (3) ein, so folgt:

$$y^4=\frac{54}{16}950 \Rightarrow y \approx 7.52$$

...

(Eigentlich muss noch eine Probe gemacht werden (o.ä.), dass tatsächlich alle 3 Gleichungen erfüllt sind, wird aber wohl nicht erwartet. Ebenso eine Begründung, dass tatsächlich ein Minimum vorliegt.)