Stimmt dieser Beweis so?

Question

Aufgabe:

Stimmt dieser Bewiese so oder habe ich das was vergessen, das ist mein erster Beweis und bin über Verbesserungsvorschläge glücklich

Text erkannt:

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Der Beweis ist unvollständig und falsch. Sieh dir dazu doch ma lähnliche Beweise in Büchern an.

Answer 1

Es gibt ein paar Grundregeln zu beachten.

Links und rechts von \(\iff\) dürfen nur Aussagen/Aussageformen stehen, keine Objekte wie Mengen. Zwischen Mengen dürfen keine Zeichen wie \(\lor\) stehen (die sind für Aussagen). Prüfe das.

Um Aussagen wie \(A\subseteq B\) zu zeigen, fängt man am besten mit "Sei \(x\in A\) an". Danach schrittweise einsetzen: "D.h. \(x\in ...\)".

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Es gibt ein paar Grundregeln zu beachten.Links und rechts von \(\iff\) dürfen nur Aussagen/Aussageformen stehen, keine Objekte wie Mengen. Zwischen Mengen dürfen keine Zeichen wie \(\lor\) stehen (die sind für Aussagen). Prüfe das.

Gilt das immer ?

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Ja. So sind die Symbole definiert.

Wenn Du es mal laut liest, merkst Du auch wie komisch es klingt, wenn die Symbole falsch verwendet werden.

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Stimmt wenigstens das rechts gemalte Diagramm ?

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Ein Diagramm würde man zum Beweis nicht brauchen.

Und was heißt "stimmt das Diagramm"? Da sind zwei Diagramme und was da dargestellt ist, steht ja nicht dabei. Erst dann bekommt das Diagramm Sinn.

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Was sagt du zu das hier, hat zwar eine Stunde gedauert aber kann man nicht ändern?

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Das ist viel viel besser, großer Fortschritt.

Die Schreibweisen sind - Ausnahme: die letzte Zeile! - in Ordnung. Allerdings:
Fall 1: der Schritt von Zeile 2 zu Zeile 3 ist ja gerade das, was gezeigt werden muss. Da fehlt noch ein oder zwei Zwischenschritte. Wenn das Distributivgesetz der Aussagenlogik benutzt werden darf, ist das einfach.

Fall 2: Hier hast Du den ersten Zwischenschritt richtig notiert, allerdings fällt der nächste einfach so vom Himmel (siehe Hinweis oben zu Distributivgesetz). Außerdem Schreibfehler, S kommt bei Dir gar nicht mehr vor.

Und keine Sorge: anfangs brauchen auch einfache Beweise viel Zeit, später geht das dank Übung flotter.

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Dieser Schritt ist nicht richtig.

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Hab ich wahrscheinlich was ausgelassen oder ein zwischen Schritt?

Nochmal eine Frage zum Verständnis, wenn ich so eine Aufgabe habe um etwas zu Beweisen, und ich im 1 Fall/Schritt bin, sagen wir ich fange mit dem Blauen an, muss ich am Ende dieses Falles immer auf das Lillane kommen oder

Und bei zweiten Schritt fange ich mit dem Lillanen an und muss am Ende auf das Blaue kommen?

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Bei der von Gast az... angemerkten Stelle handelt es sich vermutlich nur um einen Schreibfehler.

Zur Frage zum Verständnis: Ja, genau.

Es sind aber genau genommen nicht zwei Fälle ("Fall" heißt ja, ein Fall tritt auf, der andere nicht), sondern die Mengengleichheit wird in zwei Teilaussagen aufgespalten.

Es gibt auch Möglichkeiten direkt die Mengengleichheit nachzuweisen (ohne zwei Teile).

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Könnt man das auch mit der Vollständigkeit Induktion beweisen?

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Vollständige Induktion ist anwendbar, wenn die nachzuweisende Aussage "für alle \(n\in \mathbb{N}\) (oder so ähnlich) gilt:..." lautet. Also?

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Also Nein, obwohl die vollständige Induktion leichter ist irgendwie .

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Kommt drauf an. Du bist im Beweisen noch ungeübt.

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@Jukius:

Du hattest vermutlich erkannt, dass ein Nachweis der einen Teilmengenbeziehung \(S\cup(M\cap N)\subseteq (S\cup M)\cap (S\cup N)\) im Groben so aussehen sollte:

Sei \(x\in S\cup(M\cap N)\).

.... (Weitere Beweisschritte mit dem Ziel, die Aussage \(x\in (S\cup M)\cap(S\cup N)\) zu begründen.)

Somit folgt \(x\in (S\cup M)\cap(S\cup N)\).

Es gilt nun zu begründen, warum aus der Annahme \(x\in S\cup(M\cap N)\) tatsächlich wie gewünscht \(x\in(S\cup M)\cap(S\cup N)\) folgt.

Damit du nun weiterkommst:

1. Schritt wie von nudger in der Antwort vorgeschlagen: Vervollständige "D.h. \(x\in\;\ldots\)" mit einer korrekt ausgeschriebenen Variante, was \(x\in S\cup(M\cap N)\) nach Definition von \(\cup\) bedeutet.

2. Falls dir kein Distributivgesetz der Aussagenlogik bekannt ist:

Wann immer du eine Aussage der Form \(A\vee B\) für gewisse Aussagen A und B als wahr vorausgesetzt hast (z.B. als Voraussetzung, als Annahme oder als bereits bewiesene Aussage in einer Situation), kannst du die Fälle A und B jeweils separat per Fallunterscheidung behandeln, z.B. so:

1. Fall: A

... (Beweis der zu zeigenden Aussage (unter Benutzung von A))

2. Fall: B

... (Beweis der zu zeigenden Aussage (unter Benutzung von B))

Weil \(A\vee B\) als wahr vorausgesetzt wurde, also mindestens einer der beiden Fälle zutrifft, ist damit die zu zeigende Aussage in allen Fällen gezeigt.

Wenn Schritt 1. erfolgreich gelungen ist, sollte der Hinweis 2. weiterhelfen... :-)

(Eine Stunde für einen Beweisversuch im Studium finde ich keineswegs viel... Ich finde es völlig normal, an einer Übungsaufgabe, die einem schwer fällt, einige Stunden zu basteln.)