Wie löst man diese Gleichung mit Potenzen?

Question

Aufgabe:

$$2^{9^{x}} = 0.25 * 8^{3^{x}}$$

Problem/Ansatz:

wie löst man das? ich hatte an Log gedacht zur Basis zwei und dann rechts den Log umrechnen auf log zur basis 8 aber komme da nicht weiter.

Answer 1

Das könnte so aussehen:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}2^{9^{x}}=\frac{1}{4} \cdot 8^{3^{x}} \\ 2^{\left(3^{2}\right)^{x}}=2^{-2} \cdot\left(2^{3}\right)^{3^{x}} \\ 2^{\left(3^{x}\right)^{2}}=2^{-2} \cdot 2^{3 \cdot 3^{x}} \\ 2^{\left(3^{x}\right)^{2}}=2^{3 \cdot 3^{x}-2} \\ \left(3^{x}\right)^{2}=3 \cdot 3^{x}-2 \\ \left(3^{x}\right)^{2}-3 \cdot 3^{x}+2=0 \\ 3^{x}=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}=\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} \\ 3^{x}=\frac{2}{2}=1 \Rightarrow x=0 \\ 3^{x}=\frac{4}{2}=2 \Rightarrow x=\log _{3} 2=\frac{\ln 2}{\ln 3}\end{array} \)

Comments

Hallo Mathecoach, warum ist es hier möglich, die pq-Formel zu verwenden? MfG

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Substitution \(z=3^x\).

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Hallo Mathecoach, warum ist es hier möglich, die pq-Formel zu verwenden?

Hallo Einzelfall. Ich hoffe, deine Nachfrage hat sich mit dem Kommentar von Apfelmännchen erledigt. Wenn nicht, melde dich gerne nochmals.

Ich persönlich empfinde diese Aufgabe für Schüler durchaus schon herausfordernd. Solche Gleichungen kommen ja nicht mal im Abitur dran. Also, wenn da keine Nachfragen zu den Potenzgesetzen kommen, bin ich eigentlich schon überrascht. Damit hätte ich eher gerechnet als zur pq-Formel.

Insofern meine Hochachtung, dass du die Anwendung der Potenzgesetze verstanden hast.