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Die Funktionen f(x) = x² und g(x) = -2*x²  werden gleichzeitig durch einen Kreis (Radius = 4  LE) nur im positiven Bereich der Abszisse berührt.

Gesucht werden die Koordinaten der Berührpunkte und der Kreismittelpunkt.


Problem/Ansatz: Die Gleichzeitigkeit beider Parabeln.

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Fang doch mal an, in dem Du die Bedingungen aufstellst, die erfüllt sein müssen. Welche sind das?

2 Antworten

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Der Kreis mit dem noch zu findenden Mittelpunkt (c;d) hat die Gleichung

(x-c)²+(y-d)²=16.

Die obere Parabel hat die Gleichung y=x².

Für bestimmte Paare (c,d) hat dieses Gleichungssystem genau eine Lösung (x;y).

Das Gleichungssystem

(x-c)²+(y-d)²=16.

y=-2x²

hat auch nur für bestimmte Paare (c,d) genau eine Lösung,

Du musst herausfinden, welches Paar (c,d) aus dem ersten Gleichungssystem mit einem Paar (c,d) aus dem zweiten Gleichungssystem übereinstimmt.

Avatar vor von 56 k 🚀
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Zeichne dir zunächst eine aussagekräftige Skizze.

Dann könnte man bereits die ungefähre Lösung graphisch ablesen.

Es sind nun die Punkte A(a1 | a2), B(b1 | b2) sowie C(c1 | c2) gesucht. Stelle dafür die Bedingungen auf und versuche dann das Gleichungssystem zu lösen.

blob.png

Avatar vor von 494 k 🚀

Grafisch approximiert habe ich das schon vor 15 Jahren mit den Werten für den Mittelpunkt ca, (4,7|0,43...4). Nur lässt in meinem Alter von fast 70 Jahren die Konzentration nach. Ich bin kein Schüler im klassischen Sinne, ich habe nur den Spaß an der Mathematik nie verloren. Ich wurde "nur" Handwerker mit meiner mittleren Reife. Ein Mathestudium blieb mir versagt.

Mich interessiert ausschließlich ein fundierter Lösungsweg der stellvertretend für alle sein soll (kann auch eine Gemeinschaftsarbeit werden).

Mich interessiert ausschließlich ein fundierter Lösungsweg der stellvertretend für alle sein soll (kann auch eine Gemeinschaftsarbeit werden).

Zur Mit meinen Bestimmungsgleichungen komme ich numerisch auf folgenden Mittelpunkt des Kreises.

A(4.731173, -0.467789)

Übrigens brauchte ich dabei nur 2 Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Aus Vereinfachungsgründen habe ich als Unbekannte die Berührstellen des Kreises mit den Funktionen genommen.

Ok. Mit einer mittleren Reife ist das wohl im rechnerisch schwierig. Wenn der Kreis den Graphen berühren soll, steht die Strecke von Berührpunkt und Kreismittelpunkt senkrecht zur Tangente im Berührpunkt.

Man müsste hier also die Steigungen in den Berührpunkten mithilfe der Ableitung bestimmen. Das bräuchtest du als Wissen aus der Oberstufe.

Es ist nicht so, dass ich auf dem Stand der 10. Klasse hängengeblieben bin. Nach der FOS (Kl. 11 Maschinenbau) war zwar mit der regulären Schule schluss, aber ich bin immer ein Autodidakt gewesen und habe mir die Differential- und Integralrechnung selbst beigebracht. Beruflich war ich als Gas- und Wasserinstallateur-Meister und einem Studium zum Versorgungstechniker unterwegs, bin zur See gefahren und hätte auch noch Schiffsbetriebstechnik studiert, wenn mir meine Gesundheit keinen Strich durch die (Differential-) Rechnung gemacht hätte (smile).

Ob ich nun einen Rotationskörper (z. Bsp.: der einer linearen F. f(x) = 1/2*x !in den Grenzen a=2, b=5 berechne (Kegelstumpf) oder eine Extremwertaufgabe wie ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis (Tunneleingang o.ä. nach der Größe (r) mit der maximalen Durchgangsfläche berechne, das alles macht mir keine Probleme. Es ist nur diese eine Aufgabe, die ich hin und wieder in die Finger bekomme, und die mir keine Ruhe lässt. Bekommen habe ich sie, wie schon erwähnt vor ca. 15 Jahren von einem deutschen Ingenieur, der mit mir dieses Problem gemeinsam angehen wollte. Er war schon 75 J. und er hat's nicht mehr erlebt eine Lösung zu haben. Deshalb der Gedanke an ihn. und wenn es zu schwierig ist, hier ein Ergebnis zu erzielen, ich kann auch damit leben.

Übrigens: seit der Zeit, als ich die Aufgabe bekam, heftet ein DIN A 3 Blatt mit 1 cm großem karierten Muster und den geplotteten Funktionen auf meiner Zeichenplatte. Ich habe noch technisches Zeichnen mit Tuschefüller und Kurvenlinealen gelernt.

Wie schon erwähnt, mein Kopf hat die Ausdauer nicht- aber es reicht immer noch um etwas nachzuvollziehen.

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