Hier dann ein möglicher Ansatz:
Erst mal ein paar Bezeichnungen:
Der Kreismittelpunkt sei bei: \( (a, b) \)
Der Berührpunkt an \( f(x)=x^{2} \) bei: \( \left(c, c^{2}\right) \)
Der Berührpunkt an \( g(x)=-2 x^{2} \) bei: \( \left(d,-2d^{2}\right) \)
Der Kreisradius war gegeben mit: \( r=4 \)
Nun die Bedingungen:
1. Berührpunkte liegen auf dem Kreis und erfüllen somit die Kreisgleichung:
\( \begin{array}{c} (c-a)^{2}+\left(c^{2}-b\right)^{2}=16 \\ (d-a)^{2}+\left(-2 d^{2}-b\right)^{2}=16 \end{array} \)
2. Der Kreis berührt die Parabeln, d.h. der Radius steht jeweils im Berührpunkt senkrecht auf der Tangente an die Parabel in diesem Punkt:
Für \( f(x)=x^{2} \) : Ableitung \( f^{\prime}(c)=2 c \)
Radius zum Punkt \( \left(c, c^{2}\right) \) ist \( \left(c-a, c^{2}-b\right) \).
Steigung der Tangente ist \( 2 c \).
Senkrechtbedingung:
\( \frac{c^{2}-b}{c-a}=-\frac{1}{2 c} \)
oder
\( 2 c\left(c^{2}-b\right)+(c-a)=0 \)
Analog für \( g(x)=-2 x^{2} \) : Ableitung \( g^{\prime}(d)=-4 d \)
Radius zum Punkt \( \left(d,-2 d^{2}\right) \) ist \( \left(d-a,-2 d^{2}-b\right) \).
Steigung der Tangente ist \( -4 d \).
Senkrechtbedingung:
\( \frac{-2 d^{2}-b}{d-a}=\frac{1}{4 d} \)
oder
\( 4 d\left(-2 d^{2}-b\right)-(d-a)=0 \)
Damit ergibt sich nun insgesamt ein Gleichungssystem von 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten \( a, b, c, d \) :
\( (c-a)^{2}+\left(c^{2}-b\right)^{2}=16 \)
\(
(d-a)^{2}+\left(-2 d^{2}-b\right)^{2}=16 \\
2 c\left(c^{2}-b\right)+(c-a)=0 \\ 4 d\left(-2 d^{2}-b\right)-(d-a)=0 \)
Dieses nicht-lineare Gleichungssystem ist alles andere als trivial. Man könnte Unbekannte mit dem Einsetzungsverfahren eliminieren etc., bekommt aber dann komplizierte Ausdrücke. An der Stelle angekommen löst man es am besten numerisch.
Es gibt auch andere Wege, aber dieser zeigt zumindest einen Weg auf, wie Du von den gewünschten Eigenschaften (berührt in zwei Punkten etc.) zum resultierenden Gleichungssystem kommst.
(Nicht jede Aufgabe mit elementaren Funktionen ist elementar lösbar.)
